两关节机器鱼无升潜游动动力学建模与仿真(2)

Ｍ

３．１

制造业信息化

ＭＡＮＵＦＡＣＴＵＲＩＮＧ

ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮＡＬＩＺＡＴＩＯＮ

３坐标系的建立和广义坐标的选取以及机器鱼受力分析

坐标系的建立和广义坐标的选取

对于

两关节

机器鱼，

建立如图

２所示的坐标系。

其中：Ｏ１、Ｏ２、

Ｏ３均位于机器鱼

中线上，Ｏ１为鱼体质心，Ｏ２Ｚ２为尾柄

关节的转动轴线，Ｏ３Ｚ３为尾鳍关节的转动轴线。Ｏ－ＸＹＺ为静坐标系，Ｏ１－Ｘ１Ｙ１Ｚ１为固联于鱼体的动坐标系，Ｏ２－

关参数，并分析其受力的基础上，可以归纳出机器鱼无升潜游动动力学要解决的两个主要问题，分别称为动力学的逆解和正解问题：

（ｔ）和θ（ｔ），求解（１）动力学逆解问题：就是已知θ２１３２（ｔ）、（ｔ）、（ｔ）、（θＸＯ１ＹＯ１Ｍ（１０２ｔ）和Ｍ３ｔ）的问题；即在给定尾柄和尾鳍关节摆动函数的条件下，求鱼体摆动函数、鱼体直线游动函数、鱼体侧向平移函数、尾柄和尾鳍关节驱动力矩函数。

（２）动力学正解问题：就是已知Ｍ（（２ｔ）和Ｍ３ｔ），求解（ｔ）、（ｔ）、（ｔ）、（ｔ）和θ（ｔ）的问题；即在给定尾柄θＹＯ１ＸＯ１θ１０２１３２和尾鳍关节驱动力矩函数的条件下，求鱼体摆动函数、鱼体侧向平移函数、鱼体直线游动函数、尾柄和尾鳍关节摆动函数。

本文采用Ｌａｇｒａｎｇｅ方程建立动力学模型，首先给出著名的Ｌａｇｒａｎｇｅ方程的一般形式：

Ｘ２Ｙ２Ｚ２为固联于尾柄的动坐标系，Ｏ３－Ｘ３Ｙ３Ｚ３为固联于尾

鳍的动坐标系。机器鱼无升潜游动时，坐标系Ｏ１－Ｘ１Ｙ１Ｚ１相对Ｏ－ＸＹＺ的运动为沿ＯＸ和ＯＹ方向的直线运动以及绕Ｏ１Ｚ１的转动；坐标系Ｏ２－Ｘ２Ｙ２Ｚ２相对Ｏ１－Ｘ１Ｙ１Ｚ１的运动为绕Ｏ２Ｚ２的转动；坐标系Ｏ３－Ｘ３Ｙ３Ｚ３相对Ｏ２－Ｘ２Ｙ２Ｚ２的运动为绕Ｏ３Ｚ３的转动。

两关节机器鱼无升潜游动时具有５个自由度，广义坐标的数目应该等于机器鱼的自由度数目。分析机器鱼

的运动情况，选取ＸＯ１、ＹＯ１、

!１０、!２１、!３２为广

义坐标（见图

ｄ

－"Ｌ＝Ｑ("ｑ

ｊ

ｊ

ｊ

ｊ＝１，２，…，ｎ（１）

３），其中ＸＯ１为

Ｏ１点在静坐标系ＯＸ轴上的坐标，ＹＯ１为Ｏ１点在静坐标

系ＯＹ轴上的坐标，!１０为Ｏ１Ｘ１与ＯＸ的夹角，逆时针为正；!２１为Ｏ２Ｘ２与Ｏ１Ｘ１的夹角，逆时针为正；!３２为Ｏ３Ｘ３与

式中：Ｌ为Ｌａｇｒａｎｇｅ函数，Ｌ＝Ｔ－Ｖ，Ｔ为系统总动能，Ｖ为系统总势能；ｑｊ为广义位移；Ｑｊ为非保守力；ｎ为系统自由度数目。

由Ｌａｇｒａｎｇｅ方程可以得到机器鱼直线游动的动力学模型：

#

%%%%%%%%%%%%%%$%%%%%%%%%%%%%&

Ｏ２Ｘ２的夹角，逆时针为正。

定义机器鱼的质量和转动惯量参数如下：鱼体质量

ｍ１，尾柄质量ｍ２，

尾鳍质量ｍ３，鱼体相对于Ｏ１Ｚ１轴的转动惯量ＪＣ１，尾柄相对于过Ｃ２与ＯＺ平行的轴

线的转动惯量ＪＣ２，尾鳍相对于过Ｃ３与ＯＺ平行的轴线的转动惯量ＪＣ３。定义机器鱼长度几何参数如图４，其中Ｃ２、

ｄｄｄｄｄＣ３分别为尾柄和尾鳍的质心，Ｌ０为鱼体长度，Ｌ１为Ｏ１与Ｏ２的距离，Ｌ２为尾柄长度，Ｌ３为尾鳍长度，Ｌ４为Ｃ２与Ｏ２

的距离，Ｌ５为Ｃ３与Ｏ３的距离。

"Ｌ"Ｌ＝Ｑ－１(１０１０"!

"Ｌ

－"Ｌ＝Ｑ２

(２１"!２１

"Ｌ

－"Ｌ＝Ｑ３

(３２"!３２

"Ｌ"Ｌ＝Ｑ－４(Ｏ１Ｏ１"Ｘ

"Ｌ"Ｌ＝Ｑ－５(Ｏ１Ｏ１"Ｙ

（２）

"""式中：Ｑ１、Ｑ２、Ｑ３、Ｑ４和Ｑ５分别为对应于θθθＸＯ１和１０、２１、３２、

３．２机器鱼受力分析

为了简化建模，将尾柄和尾鳍均看作刚性平板，将鱼

ＹＯ１的非保守力。

由于不考虑机器鱼的升潜运动，计算Ｌａｇｒａｎｇｅ函数的时候，只需要计算系统的动能即可。

体的水阻力等效成了一个Ｘ方向的阻力Ｆ１Ｘ、一个Ｙ方向的阻力Ｆ１Ｙ和一个绕Ｏ１Ｚ１的阻力矩Ｍ１；尾柄水动力等效为一个沿Ｏ２Ｙ２的集中力Ｆ２；尾鳍水动力等效为一个沿

(２(２/２

鱼体动能Ｔ１：Ｔ１＝ｍ（１ＸＯ１＋ＹＯ１）／２＋ＪＣ１!１０／２

尾柄动能Ｔ２：

Ｏ３Ｙ３的集中力Ｆ３，这样机器鱼受力可以简化成图５形式。Ｌ６为Ｆ２作用点与Ｏ２的距离，Ｌ７为Ｆ３作用点与Ｏ３的距离。４

机器鱼无升潜游动动力学模型建立

在建立两关节机器鱼坐标系，选取广义坐标，定义相

(２(２（Ｌ１!(Ｏ１Ｌ１!(１０）２＋（Ｌ４!(２０）２－２Ｘ(１０ｓｉｎθＴ２＝ｍ［２ＸＯ１＋ＹＯ１＋１０－(Ｏ１Ｌ４!(２０ｓｉｎθ((２Ｘ２０＋２Ｌ１Ｌ４!１０!２０ｃｏｓθ２１＋

２(Ｏ１Ｌ１!((１０ｃｏｓθ((２０

］／２＋ＪＣ２!／２２Ｙ１０＋２ＹＯ１Ｌ４!２０ｃｏｓθ２０

２０<