Ｂ（ｐ’ｇ）＝上１ｘｐ－ｌ（１一再）¨也

（ｐ，ｑ＞ｏ），

我们称之为Ｂ函数。

令．１７＝ＣＯＳ‘（９）时，代入上式得

Ｂ（ｐ，ｑ）＝２ｆ

２ｃｏｓ２Ｐ一１日ｓｉｎ幻～ＯｄＯ

．ｓＯ

令戈＝÷时，同理得

１２，＋１

Ｂ（ｐ，ｑ）＝厂群杀ｄｕ

１．２．２

性质

（１）Ｖ［Ｐｌ：Ｐ２；ｇｌ：ｑ２］ｃ（０，＋∞；０，＋∞），Ｂ函数在［ｐｌ：Ｐ２；ｇｌ：ｑ２］上一致连续。Ｂ（ｐ，ｑ）在（０，

＋ｏｏ；Ｏ，＋∞）上连续，有连续的各阶偏导数。

（２）对称性Ｂ（ｐ，ｑ）＝Ｂ（ｑ，Ｐ）

（３）递推公式

Ｂ（ｐ，９）－带Ｂ（ｐ，ｇ．１）

Ｂ（ｍ㈡＝％黼

＝—Ｊ昌Ｂ（ｐ一１，口）

’１７

Ｐ‘ｑ一１“、，

特别对正整数ｍ，，ｌ有

（４）余元公式

Ｂ（ｐ，ｌ—ｐ）＝—ｓｉ－＝ｎ里ｐ一＇ｔｒ（０＜ｐ＜１）

特别是

曰（｝，了１）：霄

（５）Ｄｉｒｃｈｌｅｔ公式

Ｂ（ｐ，ｑ）＝黜

２

应用欧拉积分求解其他定积分

用欧拉积分表不其他积分，说到底主要是变量

替换以及各种变形，下面举几个例子。

例１：求Ｉ√习出

－ｔＯ

解：法１通过三角换元法可得

，√－巩＝詈√日＋詈ａｒｃｓｉｎ詈

＝归ｔ＝寺肛卜号ａｒｃｓｉｎ２ｔ［！；．

上１厢山＝上１√手一（ｘ—ｉ１）２出

万　

方数据＝詈

（令ｔ＝算一号）

法２

我们用欧拉积分来进行计算，将原式进

行适当变形

上１√习如＝上１舅｝（１一髫）÷出＝Ｂ（吾，寻）

［ｒ丁３）］２［虿Ｉ

ｌ

Ｌｉｌ）］２

Ｆ（３）

２１

『『１１

［ｒ虿Ｉ）］２＝ｒ（÷）ｒ（１一虿１）

＝一＝１Ｔ１Ｔｓｉｎ

ｉ

故

ｒ（妻）＝石，

于是原式

上１万了出＝詈。

这两种方法比较而言，通过欧拉积分计算相对

更简捷。

例２：求ｆ

２

ｓｉｎ＇０ｃｏｓ＂ＯｄＯ（ｍ＞一１，ｎ＞一１）

解析：这是一道关于三角函数的定积分。如果通

过利用三角公式求出其原函数再计算，这就需要讨

论ｍ，ｎ的奇偶性。这显然是我么尽可能避免的。

我们应用欧拉积分来解令鼻＝ＣＯＳ２（０）时，代人上式得

卜ｎ‰群咖＝÷Ｂ（丁ｍ＋ｌ，孚）

当ｍ＝６，／＇ｔ＝４，即原式为

上亍ｓ甜口ｃ。ｓ４甜８＝÷Ｂ（手，手）

ｌｒ（虿７ＪｌＩ虿５）３霄

一２

ｒ（６）

一５１２

同理，对于

２

Ｉｆ

ｔａｎｎｘｄｘ

（Ｉ

ｎ

Ｉ＜Ｉ＜１），），

我们有

上２ｔａｎ“菇以＝２Ｓ甜口Ｃｏｓ－ｎｘ出

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