２００９年９月第２３卷第３期

阴山学刊

ＹＩＮＳＨＡＮＡＣＡＤＥＭＩＣＪＯＵＲＮＡＬ

Ｓｅｐ．２００９Ｖ０１．２３

Ｎｏ．３

欧拉积分在求解定积分中的应用

田

兵

（包头师范学院学报编辑部，内蒙古包头０１４０３０）

摘要：本文叙述了欧拉积分的定义及相关性质，着重通过举例说明欧拉积分在实际计算中的应用。关键词：欧拉积分；定义；性质；应用

中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１００４—１８６９（２００９）０３－００２２—０３

求解定积分是学习高等数学的一个重要内容，也是解决数学问题的一个基本技能。求解定积分的

∞）内闭一致收敛。Ｆ（ｄ）在区间（０，＋∞）连续，求导在积分号下进行：

方法一般来说是先求出原函数，然后再根据牛顿一一莱布尼茨公式带人上下限进行计算。这种方法对

于一般的定积分求解问题比较实用。

ｒ“’（ａ）＝ｆ石”１ｅ１（１似）“ｄｘ

（２）递推公式Ｖｄ＞０，有

ｒ（ａ＋１）＝ａｒ（ａ）。

这个性质可有分布积分公式得到。

，＋∞

，＋蕾

在实际问题中，有许多定积分的原函数，难以计算或者计算过程非常繁杂。而如果将其进行适量的变量代换，变为我们熟悉的定积分，那么这一问题就

得到了很好的解决。欧拉积分恰恰就是我们解决这

ｒ（ａ＋１）＝Ｉ

Ｘａｅ－ｘ

帕

石。ｅ—ｄｘ＝Ｉ加

ｘ。ｄ（一ｅ一。）＝一

样问题的一个有效工具。

我们先了解何为欧拉积分。

ｌ

１．１

１．１．１

Ｊｊ。＋口Ｊ【茗。一１ｅ一。ｄｘ＝ａｒ（ａ）。

特别是，当ａ＝ｎ，ｎ

Ｅ

Ｎ＋，有

欧拉积分

ｒ函数（第二型欧拉积分）

定义：

ｘａ－Ｉｅ４ｄｘ

ｒ（ｎ＋１）＝ｎＦ（ｎ）＝ｎ（ｎ—Ｉ）Ｆ（ｎ—１）＝…＝ｎ！Ｆ（Ｉ）。

而Ｆ（１）＝ｆ

Ｊ０

ｅ－ｚｄｘ＝ｌ，即

名“ｅ’。出。

Ｆ（０［）＝Ｉ

如

为ｒ函数。

（口＞０）我们称之为成

ｒ（ｎ＋１）＝ｎ！＝１

由此我们可以看到ｎ！可以用一个无穷级数表示

令并＝ｔ２时，代人上式得

ｒ（ａ）＝２Ｉ

ＪＯ

产～ｅ“２ｄｔ（ａ＞０）

ｒ（ａ）ｒ（１一ａ）＝士（ｏ＜ａ＜１）

（４）倍元公式

（３）余元公式

令ｘ＝Ｉｎ上时，代人上式得‘

．＇

‘

ｒ（ａ）＝ｆ（Ｉｎ■１）”１ｄｔ（口＞ｏ）

ＪＯ

‘

＝兰Ｆｒ（ａ）Ｉａ＋÷ｌ

ｒ（２ａ）＝筹ｍ）Ｆ（ａ＋号）（ａ＞ｏ）

（ａ＞ｏ）

√１Ｔ

、

二７

１．１．２

性质

１．２

１．２．１

Ｂ函数（第一型欧拉积分）

定义：

（１）ｒ函数的定义域区间为（０，＋∞），在（０，＋

收稿日期：２００９—０６一１０

作者简介：田兵（１９８２一），男，山西五台人，学士，研究方向：数学物理方程。

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