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第七章 课堂练习题返回 上页 下页

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一. 单项选择题 1. 下列变换不是线性变换的是 ( D ). ) (A) T ( f ( x )) = ∫a f ( t )dt ,其中 f(x)是[a, b]上的连续 是 上的连续 函数; 函数; (B) T (a , b, c ) = (a + b c , a b + c , a + b + c ), (a , b, c ) ∈ R 3 ; (C) T ( X ) = An×n X XBn×n,X是Rn×n中的任意矩阵; 是 × 中的任意矩阵; (D) T (a , b) = (a + 1, b + 1), (a , b) ∈ R 2 . (因为 T[(a, b)+(c, d)]=(a+c+1,b+d+1) 因为 ≠(a+c+2,b+d+2) )返回 上页 下页x

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2. 设A, B是线性空间 的线性变换，且 是线性空间V的线性变换 是线性空间 的线性变换， AB-BA=E, , ). 则 ( A) (A) A2B-BA2=2A ; (B) A3B-BA3=3A3 ; (C) A2B-BA2=0 ; (D) A4B-BA4=2AB . 返回 上页 下页

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3. 设V是n维线性空间，则V上的线性变换全体 维线性空间， 上的线性变换全体 是 维线性空间 上的 组成的线性空间的维数为 ). 组成的线性空间的维数为( C ) 维数 (A) n ; (B) (½)n(n+1) ; ) (C) n2 ; 无穷大. (D) 无穷大 线性变换与一个 级矩阵1 1对应.) (因为一个线性变换与一个 级矩阵1—1对应 因为一个线性变换与一个n级矩阵

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4. 设A, B是n维线性空间 的线性变换，它们适合条 维线性空间V的线性变换 是 维线性空间 的线性变换， )时 必有A=B. 件( B )时，必有 ( 它们的值域 值域与 分别相等； (A) 它们的值域与核分别相等； 如k1≠k2≠0 . ) 个线性无关的向量a (B) V 中有 n 个线性无关的向量 1,a2,L,an ,使 L A(ai)=B(ai),i=1,2,L,n ; ), L 的秩相等； (C) A, B的秩相等；同(A) ,秩r(k1)=r(k2)=n . ) 的秩相等 ( 有相同的特征值. (D) A, B有相同的特征值 有相同的特征值 1 0 1 1 在基ε (如A, B在基 1,ε2下矩阵为 在基 0 1 , 0 1 . ) 返回 上页 下页

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5. 设A为n维线性空间 的线性变换，A在给定一组 维线性空间V的线性变换 为 维线性空间 的线性变换， 在给定一组 基下的矩阵为A, 的矩阵可以在某组基下为对 基下的矩阵为 ，则A的矩阵可以在某组基下为对 的矩阵可以在某组基下为 ). 角矩阵的充分必要条件为 角矩阵的充分必要条件为( B ) 个不全相同的特征值； (A) A有n个不全相同的特征值； 有 个不全相同的特征值 (B) 存在有 级可逆矩阵 ，使为 -1AP对角矩阵； 存在有n级可逆矩阵 级可逆矩阵P,使为P 对角矩阵； 对角矩阵 个特征向量； (C) A有n个特征向量； 有 个特征向量 的特征多项式有n个不全相同的根 (D) A的特征多项式有 个不全相同的根 的特征多项式有 个不全相同的根.

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6. 设V是二维实列向量空间，定义V中的线性变换 是二维实列向量空间，定义 中的线性变换 是二维实列向量空间 级实矩阵， 为A(X)=AX, X∈V,其中 为2级实矩阵，当A为

矩 ∈ ,其中A为 级实矩阵 为矩 没有非平凡不变子空间. )时 线性变换A没有非平凡不变子空间 阵( C )时，线性变换 没有非平凡不变子空间 (A) 1 1 0 2 ;

(B)

2 2 1 1 ; 2 0 0 3 .

(C)

0 1 1 0 ;

(D)

线性变换没有实特征值 (这个线性变换没有实特征值，事实上，这是 这个线性变换没有实特征值，事实上， 平面上的一个旋转变换 没有一维不变子空间.) 旋转变换， 平面上的一个旋转变换，没有一维不变子空间返回 上页 下页

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二. 填空题 中线性变换T把基 把基A:(1,0,1)T, (0,1,0)T, (0,0,1)T 1. R3中线性变换 把基 变为基B: 在基A 变为基 (1,0,2)T, (-1,2, -1)T, (1,0,0)T,则T在基 在基 1 1 1 0 2 0 1 0 1

下的矩阵为

.

因为 T (α 1 , α 2 , α 3 ) = ( β1 , β 2 , β 3 ) = (α 1 , α 2 , α 3 ) A 所以 1 0 0 1 1 1 1

A = (α 1 , α 2 , α 3 ) ( β1 , β 2 , β 3 ) = 0 1 0 0 2 0 . 1 0 1 2 1 0 返回 上页 下页

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2. 设V是数域 上的一维线性空间，写出 上的所有 是数域P上的一维线性空间 是数域 上的一维线性空间，写出V上的所有 , ∈ , 为 上一取定的数 线性变换 设k(α)=kα,α∈V,k为P上一取定的数 3. 在P 3中定义线性变换 Ax=(0, x1, x2), x=(x1,x2,x3)∈P 3,则 ， ∈ A2的值域为 A2的核为 {(0, 0, x1) | x1∈P} , {(0, x2, x3) | x2, x3∈P} . .

4. 是否存在 上的线性变换，它将一组线性相关的 是否存在 上的线性变换，它将一组线性相关的 存在V上的线性变换 向量组变成线性无关的向量组 向量组变成线性无关的向量组 变成返回

不存在上页

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5. 在数域 上全体n级矩阵所构成的线性空间 n×n 在数域P上全体 级矩阵所构成的线性空间P × 上全体 级矩阵所构成的线性空间 其中B为 × 中一固定的矩阵， 中，令A(C)=BC ,其中 为Pn×n中一固定的矩阵， 当且仅当B 当且仅当 为可逆矩阵 时，A为可逆变换 为可逆变换.

6. 设e1,e2,L,en和ε1,ε2,L,εn是线性空间 的两组基， 线性空间V的两组基， L L 过渡矩阵为 从e1,e2,L,en到ε1,ε2,L,εn的过渡矩阵为T. 若A是V上 L L 是 上 线性变换， L 在 的线性变换，且A(ei)=εi,i=1,2,L,n ,则A在基 ε1,ε2,L,εn下的矩阵是 L 下的矩阵是返回

. T上页 下页

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判断题(正确打√ 错误打× 三.判断题(正确打√,错误打×) 1. 线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的 线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的 线性无关的向量组变为 向量组. 向量组 ( 2.

×) ×) √ )

是一线性空间 是一线性变换， 设V是一线性空间，A是一线性变换，则必有 是一线性空间

, 是一线性变换

V是AV与A-1(0)的直和 ( 是 与 的直和.

3. 设V是一线性空间，A是一线性变换，则有 是一线性空间 是一线性变换， 是一线性空间， 是一线性变换 dim(AV)+dim(A-1(0))=dim(V). (

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4. 设V是一线性空间，A是一线性变换，则AV与 是一线性空间 是一线性变换， 是一线性空间， 是一线性变换 与 A-1(0)的都是 的不变子空间 ( √ ) 的都是A的不变子空间. 的都是 5. 设 V是一 线性空间 ， A是一线性变换 ， 如果有 是一线性空间 是一线性变换， 是一 线性空间， 是一线性变换 Aξ=λξ , λ 是 不 为 零 的 数 ， 则 ξ 是 特 征 向 量 . (

× )

6. 设 V1是 线性变换 的 不变子空间 ，则对任一多 线性变换A的不变子空间， 项式f(x),V1是f(A)的不变子空间 ( √ ) , 项式 的不变子空间.返回 上页 下页

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中的线性变换: 四. 求R3中的线性变换 T(a,b,c)=(2a+c,a-4b,3a), , 在基α 下的矩阵. 在基 1=(1,1,1), α2=(1,1,0), α3=(1,0,0)下的矩阵 下的矩阵 引入标准基ε 解 引入标准基 1=(1,0,0), ε2=(0,1,0), ε3=(0,0,1),则 ，T(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)A1,又(α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)B

1 1 1 0 2 1 其中 A1 = 1 4 0 ,过渡矩阵 B = 1 1 0 . 1 0 0 3 0 0

由T(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)A 有 T(ε1,ε2,ε3)B=(ε1,ε2,ε3)BA 有 (ε1,ε2,ε3)A1B=(ε1,ε2,ε3)BA 有返回

A=B-1A1B上页 下页

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得 A=B-1A1B1 0 2 1 1 1 1 0 0 = 0 1 1 1 4 0 1 1 0 1 1 0 3 0 0 1 0 0 3 3 3 = 6 6 2 6 5 1

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五.

中求线性变换 线性变换T(x) 在R2中求线性变换

1 2 = 值域及 2 4 x 的值域及核.

解 设x=(x1, x2)T,则有 x1 + 2 x 2 1 T ( x) = 2 x + 4 x = ( x1 + 2 x 2 ) 2 , 2 1

令k1=x1+2x2,则T的值域为 的值域为 T(R2)= 1 k1 k1 ∈ R 2 2 2 1 k2 ∈ R 上页 下页

由x1+2x2=0,得x = (2,-1)T,则T的核为 ， , 的 T-1(0)= k返回

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1 1 0 1 ,B = ,对X∈R2×2定义 六.已知 A = ∈ × 1 1 1 0

变换T(X)=AXB,证明 是R2×2到自身的线性变换; ,证明T是 × 到自身的线性变换 线性变换; 变换 并求单位矩阵 的原像. 并求单位矩阵E的原像 单位矩阵× 因为任取X 证 因为任取 1, X2∈R2×2, k∈R,有 ∈ ,

T(X1+X2)=A(X1+X2)B=AX1B+AX2B=T(X1) +T(X2) T(kX1)=A(kX1)B=kAX1B=kT(X1). 所以T是 × 到自身的线性变换 线性变换. 所以 是R2×2到自身的线性变换 由AXB=E,得E的原像为 ， 的原像为X =

A EB返回 1 1

证毕. 证毕

=A B

1

1

1 1 1 0 1 1 1 1 = 1 1 1 0 = 2 1 1 . 2 上页 下页

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七. 设W1和W2是n维线性空间 的两个子空间，且 维线性空间V的两个子空间， 维线性空间 的两个子空间 其维数之和等于n. 求证存在V的线性变换A, 其维数之和等于 求证存在 的线性变换 ，使 A-1(0)=W1 ,AV=W2 . 的维数分别为s和 证 设W1和W2的维数分别为 和m=n-s. 的一组基为α 取W2的一组基为 1,α2,L,αm. L 取W1的一组基为 1,β2,L,βs. 并扩充为 的一组基 的一组基为β 并扩充为V的一组基 L β1,β2,L,βs, βs+1,βs+2,L,βn.令A为由下列条件所决定的 L L 令 为由下列条件所决定的 线性变换： 线性变换： Aβi=0, 1≤i≤s, Aβs+i=αi , 1≤i≤m. ,返回 上页 下页

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我们有 AV=L(Aβ1,Aβ2,L,Aβn)=L(α1,α2,L,αm)=W2, L L W1=L(β1,β2,L,βs)p A-1(0). L p 中的任一向量 另一方面，在A-1(0)中的任一向量 另一方面， α =k1β1+k2β2+L+knβn,因为Aα=0,则有 ， L 因为 Aα =k1Aβ1+k2Aβ2+L+knAβn=ks+1α1+L+knαm=0. L L 由于α 由于 1,α2,L,αm线性无关，故ki=0, s+1≤i≤n, L 线性无关， , 即α =k1β1+k2β2+L+ksβs∈W1,即A-1(0)p W1. L p 这样就有A 这样就有 -1(0)=W1.返回

证毕. 证毕上页 下页

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八. 设W是n维线性空间 的子空间，A是V的线性 是 维线性空间V的子空间， 是 的 维线性空间 的子空间 变换， 变换，令W0=W∩A-1(0). 证明 dimW=dimAW+dimW0. 证 取 W0 的一组基 α1,α2,L,αr , 并扩充为 W的一组基 L 的一组基 α1,α2,L,αr, β1,β2,L,βs,其中 其中s+r=m=dimW. L L 而AW=L(Aα1,L,Aαr, Aβ1,L,Aβs)是V的子空间 的子空间. L L 是 的子空间 由于α 由于 i∈A-1(0),则Aαi=0, 1≤i≤r. 于是 ， AW=L(Aβ1,Aβ2,L,Aβs). L 线性无关， 下面我们证明 Aβ1,Aβ2,L,Aβs 线性无关 ， 则本题 L 得证. 得证返回 上页 下页

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设 则

k1Aβ1+k2Aβ2+L+ksAβ=0. L A(k1β1+k2β2+L+ksβs)=0. L

于是k 于是 1β1+k2β2+L+ksβs∈A-1(0). 又因为 L k1β1+k2β2+L+ksβs∈W,于是 L , k1β1+k2β2+L+ksβs∈W0 . 这样我们有 L k1β1+k2β2++ksβs=l1α1+l2α2+L+lrαr . L 因为 α1,α2,L,αr, β1,β2,L,βs 线性无关， L L 线性无关， 的维数等于s , 的维数等于 有ki=0, 1≤i≤s. 即AW的维数等于 ，即得 dimW=dimAW+dimW0. 证毕. 证毕 此题取W=V,即为 ，即为dimV=dimAW+dimA-1(0). 此题取返回 上页 下页

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九. 设A是n维线性空间 的线性变换，证明 是 维线性空间V的线性变换， 维线性空间 dimA3V+dimAV≥2dimA2V. 八题知 证 由八题知 dimAV=dimA2V+dim(A-1(0)∩AV). dimA2V=dimA3V+dim(A-1(0)∩A2V). 又A2Vp AV,令dim(A-1(0)∩A2V)=r, p , , dim(A-1(0)∩AV)=s,s≥r≥0. 于是 ， dimA2V+s=dimAV,dimA2V=dimA3V+r. , 2dimA2V+s=dimA3V+dimAV+r. 相加得 证毕. 即得 dimA3V+dimAV≥2dimA2

V. 证毕 此题对n级方阵 即为 此题对 级方阵A即为 R(A3)+R(A)≥2R(A2). 级方阵返回 上页 下页