四足步行机器人动力学模型及脚力分配的研究(3)

四足步行机器人动力学模型及脚力分配的研究

14 华 中 科 技 大 学 学 报(自然科学版) 第33卷

在力的分配问题中,规定运动的关节速度和加速度为定值,从而a,b,c为常数.并规定!f为有符号的量,其符号与 的相同.直流电机的扭矩约束条件根据电机和驱动器的电流、电压约束推导得到.对电机电流IT有Imin IT Imax.代入方程(5),则可以转换为扭矩的约束!min-curr ! !max-curr,其中!min-curr=%[K!Imin-!f- % -J% ]且!max-curr=%[K!Imax-!% -f- J% ],而电机电压也必须满足方程:Vmin VT Vmax.代入方程(6)得到电机扭矩的约束条件为

!min-volt ! !max-volt,

(7)

式中:!min-volt=%[K!Vmin/R-K!KB% /R-!f- % -J% ];!max-volt=%[K!Vmax/R-K!KB% /R-!f- % -J% ].

根据上述四个由电流和电压约束决定的扭矩约束,可以得到:

!min=

!min-curr!min-volt!max-curr!max-volt

(!min-curr(!min-volt),(其他);

(!max-curr !max-volt),(其他).

8 9

^GA^+W^=0,(10)

这里,A^&R是一个矩阵A合并后的结果;

^&R9表示脚力矢量;WG^&R8 9是矢量W联立后的结果.

因此,力的分配可以简化为:用方程(10)表示的等式约束条件和方程式(4)和(9)表示的不等式约束条件下的力规划问题.

-b.在(t+j,tk)这段时间,n=4,因此,G是一个12维的矢量,A是一个6 12矩阵,为了解的连续性,作用于第j条腿脚上的力用fj=[fxj,fyj,fzj]T&R3表示,它可以从fj(t+j)=0均匀变

-化到fj(t-k),它是由在tk这一时间三条支撑腿

的力来决定的.因此,第j条腿的脚力在时间段

--(t+j,tk)内可表示为:fj= (t)fj(tk).这里,

(t)是任意连续的标量,它可以从 (t+j)=0变化到 (t-k)=1,因此,在这段时间内fj被认为是已知的,方程(3)可以写为

[A ,Aj][G ,fj]+W=0,

这里A &R6 9,G &R9,以及Aj&R6 3.设W!=Ajfj+W&R6,得到形如式(3)的方程

^GA^+W^=0.

(11)

这里,A^是A 变换后的矩阵,W^是矢量W!合并后得到的结果.

在方程式(11)和(7)或(9)中只有8个独立的方程式,在得到脚力分配的约束条件后,考虑到解

-的连续性问题,在(t+j,tk)这段时间,力的分配能

T

!max=

由此得到支撑腿i上电机j的约束条件!maxij(!ij(!minij.并有!imax=[!maxi1,!maxi2, ,!maxij],!imin=[!mini1,!mini2, ,!minij].

当机器人在地面上行走时,所有的支撑腿都不应该打滑,即要满足摩擦约束条件,该问题已被广泛研究,其一般性的表达式为

(f

2

xi

T

T

转化成除腿j之外三条腿的合力问题.

2.4 优化目标函数

因为二次规划的解并不依赖于初始值的选择,所以在解的速度和质量上,它都优于线性规划方法,本文采用此方法来进行力的优化.其目标函数表达式为

min pG^+G^QG^,st. AG+W=0; BG^ C,

(

T

+f

21/2

yi)

&fzi.(8)

同时为了确保机器人脚与地面有效接触,还

必须满足

fzi(0.

2.3 连续解问题

在研究四足机器人力规划问题时,为了避免

+

脚力的不连续性问题,用(t-j,tj)来表示第j条

(9)

(12)(13)

式中G^&R9是所设计的变量矢量(脚力).约束条件表示成方程式(10),不等式约束条件(4),(8)或(9)的组合,限于篇幅,这里略去其具体表达形式.

通过化简,不难得出脚力优化分配问题可进一步表示为

min a0x2+a1x+a2,st.x&[b1,b2],

(14)

式中a0,a1,a2,b1,b2分别表示方程系数及约束边界,限于篇幅这里没有列出具体表达方式.由于式(12)中Q是正则矩阵,很明显a0>0,因此一定有一个规划最优解.

腿(摆动腿)抬起的时间tj到腿落地的时间tj;(tj,tk)表示第j条腿落地tj到第k条腿(下一条摆动腿)抬起tk的那段时间,显然,机器人在(tj,tj)这段时间内是用三条腿来支撑地面的,

-而在(t+j,tk)这段时间是用四条腿来支撑地面-+

-+

-+

-+

的.下面分别来分析这两个时间段的情况.

+

a.在(t-j,tj)这段时间,n=3,因此G和A

分别成了9 1矩阵和6 9矩阵,方程式(3)包含了6个方程的9个未知变量,但实际上只有8个独立方程: