高中数学教学论文 例谈恒成立不等式的求解策略

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例谈恒成立不等式的求解策略

含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型，也是各类考试的热点．这类问题既含参数又含变量，学生往往难以下手，怎样处理这类问题呢？转化是捷径．通过转化能使恒成立问题得到简化，而转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用．下面就其常见类型及解题策略举例说明．

一﹑可化为一次不等式恒成立的问题 例1．对于满足0 p 4的一切实数，不等式x px 4x p 3恒成立，试求x的取值范围．

分析：习惯上把x当作自变量，记函数y x (p 4)x 3 p，于是问题转化为： 当

22

p 0,4 时，y 0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方

程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．

解：设函数f(p) (x 1)p (x 4x 3)，显然x 1，则f(p)是p的一次函数，要使

2

f(p) 0恒成立，当且仅当f(0) 0，且f(4) 0时，解得x的取值范围是( , 1) (3, )．

点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利

用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色．

二﹑二次不等式恒成立问题

例2．已知关于x的不等式(m 4m 5)x 4(m 1)x 3 0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数时，应对参数分类讨论． 解：(1)当m 4m 5 0时，即m 1或m 5，显然m 1时，符合条件， m 5不符合条件;

(2) 当m 4m 5 0时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得

2 m 4m 5 0,

，解得1 m 19． 22

16(m 1) 12(m 4m 5) 0

综合(1)(2)得，实数m的取值范围为 1,19 ．

22

2

2

三﹑绝对值不等式恒成立问题

例3．对于任意实数x，不等式x 1 x 2 a恒成立，求实数a的取值范围． 分析1：把左边看作x的函数关系，就可利用函数最值求解．

3,x 1

解法1：设f(x) x 1 x 2，则f(x) 2x 1, 1 x 2， fmax(x) 3， a 3．

3,x 2

分析2：利用绝对值的几何意义求解．

解法2：设x﹑ 1﹑2在数轴上对应点分别是P﹑A﹑B，则x 1 x 2 PA PB 当点P在线段AB上时， 3 PA PB 3; 当点P在点A的左侧时， PA PB 3; 当点P在点A的右侧时， PA PB 3;

因此，无论点P在何处，总有 3 PA PB 3，所以当a 3时， PA PB a恒成立，即对于任意实数x，不等式x x 2 a恒成立时，实数a的取值范围为(3, )．

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分析3：利用绝对值不等式a b a b a b求解f(x) x x 2的最大值． 解法3：设f(x) x 1 x 2． x 1 x 2 x 1 x 2 3且x 2时等式成立，

fmax(x) 3， a 3．

四﹑含对数﹑指数﹑三角函数的不等式恒成立问题

例4．当x (0,时，不等式x logax恒成立，求a的取值范围．

分析：注意到函数f(x) x，g(x) logax都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知只要在(0,)内， g(x) logax的图象在f(x) x要使对一切x (0,)，f(x) g(x)恒成立，

2

1

2

2

1212

2

图象的上方即可．显然0 a 1，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即

11f( g(．

22

解：设f(x) x，g(x) logax，则要使对一切x (0,，f(x) g(x)恒成立，由图象可知0 a 1，并且f( g()，故有loga

2

1

2

121211 ， 24

a

11， 又 0 a 1 a 1 1616

1

2

1

处的函数2

点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用．此外，从图象上直观得到0 a 1后还需考查区间(0,右端点x 值的大小．

五、形如“a f(x)”型不等式

形如“a f(x)”或“a f(x)”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“a f(x)在x D上恒成立，则a [f(x)]max(x D);a f(x)在x D上恒成立，则．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型． a [f(x)]min(x D)”

2

例5．已知二次函数f(x) ax x，若x 0,1 时，恒有f(x) 1，求a的取值范围． 解： f(x) 1， 1 ax x 1， 即 1 x ax 1 x （1）当x 0时，不等式 1 a 0 1显然成立， a R （2）当0 x 1时，由 1 x ax 1 x得

2

2

2

1111

a ． 22

xxxx

11112111

( 0，( )min 0， a 0．

x24x2xx2x11112111

又 2 ( ) 2，( 2 )max 2， a 2． 2 a 0．

xx24xxx

综上得，a的取值范围为 2 a 0．

六、形如“f(x1) f(x) f(x2)”型不等式

x

，若对任意x R，都有f(x1) f(x) f(x2)成立，则例6．已知函数f(x) 2sin(

25

x1 x2的最小值为 ．

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解： 对任意x R，不等式f(x1) f(x) f(x2)恒成立，

f(x1)，f(x2)分别是f(x)的最小值和最大值．

x

对于函数f(x) 2sin( )，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是2，即半个周

25

期． x1 x2的最小值为2

x1 x2f(x1) f(x2)

”型不等式

22x2

例7．在y 2，y log2x，y x，y cosx这四个函数中，当0 x1 x2 1时，使x x2f(x1) f(x2)

恒成立的函数的个数是( ) f(1

22

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

x x2f(x1) f(x2)

的函数应是凸解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件f(122

． 函数的性质，画草图即知y log2x，y cosx符合题意，故此题选（C）

八、形如“f(x) g(x)”型不等式

1

例8．已知函数 …… 此处隐藏：98字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……