(考前大通关)高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题二《第三讲 极

(考前大通关)高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题二《第三讲 极限、数学归纳法》专题针

（考前大通关）2013高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题二《第三讲 极限、数学归纳法》专题针对训练 理

一、选择题

1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x 2x －1－4x 2－1 x 在x ＝1处连续，则a 的值为( )

A ．0

B ．1

C ．－1

D ．2

解析：选B.若f (x )在x ＝1处连续，

则有lim x →1－f (x )＝lim x →1＋ (2x －1－4x 2－1)＝lim x →1＋ 2x ＋1

＝a ，解得a ＝1，故选B. 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n

＝( )

A.2n ＋2

B.2n n ＋

C.22n －1

D.22n －1

解析：选B.由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1，

∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，

∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝n

n ＋2a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，

∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110

. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110

. 猜想a n ＝2n n ＋

. 3．若复数a ＋3i 1＋2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则lim n →∞ (1a ＋1a 2＋…＋1a n )＝( ) A.17

B.57

C ．－17

D ．－57

解析：选C.a ＋3i 1＋2i ＝a ＋＋－2a 5＝a ＋65＋3－2a 5

i ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋65＝0，

3－2a 5≠0，解得a ＝－6，所以lim n →∞ (1a ＋1a 2＋…＋1a n )

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＝lim n →∞[(－16)＋(－16)2＋…＋(－16)n ]＝－161＋16

＝－17. 4．已知a ，b ∈R ，|a |>|b |，且lim n →∞ a n ＋1＋b n a n >lim n →∞ a n －1＋b n

a n ，则a 的取值范围是( ) A ．a >1 B ．－1<a <1 C ．a <－1或a >1 D ．－1<a <0或a >1 解析：选D.∵|a |>|

b |， 则lim n →∞ a n ＋1＋b n a n ＝lim n →∞[a ＋(b a

)n ]＝a ， lim n →∞ a n －1＋b n a n ＝lim n →∞[1a ＋(b a )n ]＝1a

. ∴a >1a ⇒a ＋a －a

>0⇒－1<a <0或a >1，故选D. 5．函数f (x )＝x －a x ＋b x －c

在点x ＝1和x ＝2处的极限值都是0，且在点x ＝－2处不连续，则不等式f (x )>0的解集为( )

A ．(－2,1)

B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C ．(－2,1)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－2)∪(1,2)

解析：选C.由已知得f (x )＝

x －x －x ＋2，则f (x )>0的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)，故选C.

二、填空题

6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a cos x x ≥0x 2－ 1 x

在点x ＝0处连续，则a ＝________. 解析：由题意得lim x →0－f (x )＝lim x →0－ (x 2－1)＝－1，lim x →0＋f (x )＝lim x →0＋

a cos x ＝a ，由于f (x )在x ＝0处连续，因此a ＝－1.

答案：－1

7．在数列{a n }中，a n ＝4n －52

，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则lim n →∞ a n －b n

a n ＋

b n 的值为________． 解析：∵a n ＝4n －52

， ∴a 1＝32

， 而数列{a n }显然是等差数列，

∴S n ＝n 32＋4n －522＝2n 2－n 2

， ∴a ＝2，b ＝－12，

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∴lim n →∞ 2n －－12n 2n ＋－12n ＝1. 答案：1

8．(2010年高考上海卷)将直线l 1：x ＋y －1＝0、l 2：nx ＋y －n ＝0、l 3：x ＋ny －n ＝0(n ∈N *，n ≥2)围成的三角形的面积记为S n ，则lim n →∞

S n ＝________. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ nx ＋y －n ＝0x ＋ny －n ＝0得

⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝n n ＋1，

y ＝n n ＋1.

则直线l 2、l 3交于点A (n n ＋1，n

n ＋1)． 点A 到直线l 1的距离d ＝|n n ＋1＋n

n ＋1－1|2

＝|n －1n ＋1|2＝n －12n ＋

. 又∵l 1分别与l 2、l 3交于B (1,0)，C (0,1)，

∴BC ＝2，∴S n ＝12AB ·d ＝n －1n ＋. ∴lim n →＋∞S n ＝lim n →＋∞ n －1n ＋＝12

. 答案：12

三、解答题

9．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n .

(1)求lim n →∞ a n S n ； (2)证明：a 112＋a 222＋…＋a n n

2>3n . 解：(1)因为lim n →∞ a n S n ＝lim n →∞ S n －S n －1S n

＝lim n →∞ (1－S n －1S n )＝1－lim n →∞ S n －1S n

， 又lim n →∞ S n －1S n ＝13lim n →∞ n －1n ＋1＝13

， 所以lim n →∞ a n S n ＝23

. (2)证明：当n ＝1时，a 11

2＝S 1＝6>3； 当n >1时，a 112＋a 222＋…＋a n n 2＝S 112＋S 2－S 122＋…＋S n －S n －1n 2

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＝(112－122)·S 1＋(122－132)·S 2＋…＋[1n －2－1n 2]·S n －1＋1n 2·S n >S n n 2＝n 2＋n n 2·3n >3n . 综上知，当n ≥1时，a 112＋a 222＋…＋a n n 2>3n

. 10．已知各项均为正数的数列{a n }，a 1＝a (a >2)，a n ＋1＝

a 2n a n －，其中n ∈N *. (1)证明：a n >2；

(2)设b n ＝a n a n －2

，证明：b n ＋1＝b 2n . 证明：(1)运用数学归纳法证明如下：

①当n ＝1时，由条件知a 1＝a >2，

故命题成立；

②假设当n ＝k (k ∈N *)时，有a k >2成立．

那么当n ＝k ＋1时，

a k ＋1－2＝a 2k a …… 此处隐藏：2427字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……