高中数学《圆的标准方程》教案10 新人教A版必修2

时间：2025-04-23

4.1.1 圆的标准方程

（一）教学目标 1．知识与技能

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程. （2）会用待定系数法求圆的标准方程. 2．过程与方法

进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.

3．情感态度与价值观

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣. （二）教学重点、难点重点：圆的标准方程

难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.

6 – – 4 – – 2 – – –5 – –2 – – –4 – – –

A M 5

例 1 写出圆心为 A (2,–3) 半径长等于 5 的圆的方程，并判断点 M1(5,–7), M2

( 5 , 1)

是否

应用举例

在这个圆上. 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手. 探究：点 M(x0,y0)与圆(x – 2 a) + (y – b)2 = r2 的关系的判断方法： 2 2 (1)(x0 – a) + (y0 – b) 2 >r ,点在圆外. 2 2 (2)(x0 – a) + (y0 – b) 2 = r ,点在圆上. 2 2 (3)(x0 – a) + (y0 – b) 2 <r ,点在圆内.

引导学生分析探究从计算点到圆心的距离入手. 例 1 解：圆心是 A(2,–3),半径长等于 5 的 2 圆的标准方程是(x + 3) + ( y 2 + 3) =25. 把 M1 (5, –7), 2 ( 5 , M –1) 的坐标代入方程 (x 2 2 –2) + (y +3) =25,左右两边相等， M1 的坐标适合圆的点方程，所以点 M2 在这个圆上；把 M2 ( 5 ,–1)的坐标代入 2 2 方程(x – 2) + (y +3) =25, 左右两边不相等， M2 的坐标

点不适合圆的方程，所以 M2 不在这个圆上

通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.

用心爱心专心

例 2 △ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7,–3),C(2, – 8). 求它的外接圆的方程. 例 2 解：设所求圆的方程是 2 2 2 (x– a) + (y – b) = r . ① 因为 A (5,1),B (7,–3), C (2,– 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是 (5 a ) 2 (1 b ) 2 r 2 2 2 2 (7 a ) ( 3 b ) r 2 2 2 (2 a ) ( 8 b) r

师生共同分析：从圆的标 2 2 准方程(x – a) + (y – b) 2 = r 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定 a、 b、r 三个参数，(学生自己运算解决)

解此方程组，得 a 2 b 3 2 r 25

所以，△ABC 的外接圆的方程 2 2 是(x– 2) + (y +3) =25.

用心爱心专心

例 3 已知圆心为 C 的圆 C. 经过点 A(1,1)和 B(2,–2),且圆心在 l : x – y + 1 = 0 上，求圆心为 C 的圆的标准方程. 比较例(2)、例(3)可得出△ ABC 外接圆的标准方程的两种求法： ①根据题设条件，列出关于 a、 b、r 的方程组，解方程组得到 a、 b、r 得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 练习：课本 P127 第 1、3、4 题

师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,–2),由于圆心 C 与 A、B 两点的距离相等，所以圆心 C 在线段 AB 的垂直平分线 m 上，又圆心 C 在直线 l 上，因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点，半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)

A m C B

例 3 解：因为 A (1, 1), B (2,– 2),所以线段 AB 的中点 D 的坐标为( , 2 3 1 2

直线 AB 的斜率

kAB =

2 1 2 1

= –3,

因为线段 AB 的垂直平分线 l′的方程是

y +

1 2

1 3

3 2

即 x –3y –3 = 0. 圆心 C 的坐标是方程组 x 3y 3 0 x y 1 0 x 3 y 2