球体积、表面积公式推导过程

这篇文章用最简单的知识称述了科学的奥妙

球体积公式V

43

R推导过程

3

图一 图二

对于一个球体，直接求它的体积是相当困难的。我们可以利用转化的思想，在球体内

放一些大小不同，高度相同的圆柱。（如图一）当每个圆柱的高度越来越小时，所有圆柱的体积和就会越来越接近于球的体积。当圆柱的高无限趋于0时，所有圆柱的体积和就是球的体积。（如图二）

按照这个思路，我们来求球的体积。

设球的体积为V，半径为R，每个圆柱的高为a，则半个球中有n n

R

,n Z 个圆柱。 a

图三中的圆为球的一个轴截面，其中的矩形是圆柱

的轴截面。圆的圆心为原点，所以这个圆的方程式为

x

2

y

2

在y轴左侧，从左到右圆柱的序号（用R。

2

b表示）分别为1，2，3，…n,则圆柱底面圆的半径

r

b

R

2

b 1 a R （注意：r

2

1

0）

图三

V2

V1 V2 V3 ... V

n

r1a

2

a

r

r2a

2

2

2

r3a

... r

2n2

2

21

r2 r3 ...

r

2n

a

2

a 0 R

a R

2

R

2

2a R

2

... 2

R

2

n 1 a R

2

2

a 2aR

2 n 1 aR 4aR 4 ... n 1 aaa

2

aa

2

2R a 4R 4a ... 2 n 1 R

2R 1 2 .. n 1

a 1

2

n 1 a

2

2

2

2

.. .

n 1

2

这篇文章用最简单的知识称述了科学的奥妙

aa

Ra

2

n n 1 a n 1 n 2n 1 2R 26 a 2n 1 n n 1 R 6

2

把n 代入上式，得

22

V2

a

2

2

a

R

a2 1

R a R

a 6

RR

3

2R a

aR R

6 2

2

23

3

3

6

2

a

R

2

a

2

a R6

2

R

2343

a R

Ra

6 2

当a无限趋于0时

V

2

RR

3

V

3

球表面积公式S

4

R推导过程

2

我们可以把球表面分成n个面积相等的网格。当n趋于无穷大时，每个网格与球心组

成的几何体便可看作一个锥体，且锥体的高为球的半径。

设球的体积为V，表面积为S，半径为R

V nS

13RSn

3VR43

V

R

2

3

S 4

R