【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.3.2 相似三角形的性质教案 新

1 2 相似三角形的性质

相似三角形的性质

(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

(2)相似三角形周长的比等于相似比．

(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比．

(5)相似三角形外接圆的面积比等于相似比的平方．

1．怎样理解“对应线段的比等于相似比”？

【提示】 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到内切圆、外接圆的半径之比也等于相似比．

2．相似三角形与全等三角形的性质比较有何异同？

2 【提示】

如图1－3－21所示，已知D 是△ABC 中AB 边上一点，DE ∥BC 且交AC

于E ，EF ∥AB 且交BC 于F ，且S △ADE ＝1，S △EFC ＝4，则四边形BFED 的面积等于多少？

图1－3－21

【思路探究】 利用S 四边形BFED ＝S △ABC －S △ADE －S △EFC 得到四边形BFED 的面积．

【自主解答】 ∵AB ∥EF ，DE ∥BC ，

∴△ADE ∽△ABC ，△EFC ∽△ABC ，

∴△ADE ∽△ EFC .

又S △ADE ∶S △EFC ＝1∶4，

∴AE ∶EC ＝1∶2.∴AE ∶AC ＝1∶3.

∴S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9.

∵S △ADE ＝1，∴S △ABC ＝9.

3 ∴S 四边形BFED ＝S △ABC －S △ADE －S △EFC ＝9－1－4＝4.

1．本题由题意显然△ADE ∽△EFC ，由面积比能得出相似比，再由相似比转化为面积比，求出整个△ABC 的面积．

2．利用相似三角形的性质定理进行有关的计算是近几年高考的热点之一，在求解过程中往往要注意对应边的比，进行相关运算时，要善于联想，变换比例式，构造三角形的边或面积间的关系．

图1－3－22

如图1－3－22，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝2∶3.

(1)求△AEF 与△CDF 周长的比；

(2)若S △AEF ＝8，求S △CDF .

【解】 (1)∵四边形ABCD 是平行四边形

∴AB ∥CD 且AB ＝CD ，∵AE EB ＝23，∴AE AB ＝AE CD ＝25

， 又由AB ∥CD 知△AEF ∽△CDF ，

∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝2∶5.

(2)由(1)S △AEF ∶S △CDF ＝4∶25，又S △AEF ＝8，

∴S △CDF ＝50.

如图1－3－23所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，在AB 边上取一点F ，使S

△BFC ＝S △ADE ，求证：AD 2

＝AB ·BF .

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图1－3－23

【思路探究】 本题条件是三角形面积之间的关系，可考虑使用相似三角形的面积比等于相似比的平方及把等底边的三角形面积比转化为边长之比．

【自主解答】 ∵DE ∥BC ，

∴△ADE ∽△ABC ，

∴S △ADE S △ABC ＝(AD AB

)2， 又∵

S △BFC S △ABC ＝BF AB 且S △BFC ＝S △ADE ， ∴AD 2AB 2＝BF AB

. ∴AD 2

＝AB ·BF .

1．解答本题的关键是把△BFC 与△ABC 的面积比转化为边长之比．

2．要证明线段相等、角相等、比例式成立等结论，有时需化归到相似三角形中加以证明，若不存在相似三角形，可添加辅助线，构造相似三角形，最终得到结论．

如图1－3－24，在矩形ABCD 中，E 是DC 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G .

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图1－3－24

求证：AG 2＝AF ·FC .

【证明】 ∵E 为矩形ABCD 的边DC 的中点，

∴AE ＝BE .

又∵GF ∥AB ，∴EG ＝EF ，∴AG ＝BF .

∵BE ⊥AC 于F ，

∴Rt △ABF ∽Rt △BCF ，

∴BF CF ＝AF BF ，∴BF 2

＝AF ·FC ，

∴AG 2＝AF ·FC .

图1－3－25

如图1－3－25，一天早上，小张正向着教学楼AB 走去，他发现教学

楼后面有一水塔DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20米和30米，它们之间的距离为30米，小张身高为1.6

米，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？

【思路探究】解答本题的关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．

【自主解答】如图，设小张与教学楼的距离至少应有x米，才能看到水塔．

连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FG⊥CD于G，交AB于H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形．

∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG.

∴AH∶DG＝FH∶FG.

即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)．

解得x＝55.2.

经检验x＝55.2是所列方程的根．

故小张与教学楼的距离至少应有55.2米，才能看到水塔．

1．解答本题的关键是画出图形，添加辅助线构造相似三角形．

2．此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意转化成数学问题，构造相似三角形求解．

3．解决相似三角形的综合问题应注意以下两点

(1)结合相似三角形的判定定理和性质定理，寻求三角形中的数量关系．

(2)注意“辅助线”的添加和定理公式的选择．

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如图1－3－26，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝200 mm ，高AD ＝300 mm ，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，求这个矩形零件的边长．

【解】 设矩形EFGH 为加工成的矩形零件，边FG 在BC 上，则点E 、H 分别在AB 、AC 上，△ABC 的高AD 与边EH 相交于点 …… 此处隐藏：4737字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……