福建师范大学高等数学(上)试题及答案2

福建师范大学高等数学(上)试题及答案

高等数学（上）试题及答案

一、 填空题（每小题3分，本题共15分）

2x

1、lim(1 3x)

x 0

______.。

x

x 0 ef(x) 2在x 0处连续．

x kx 0

2、当k3、设

y x lnx,则

dx

______ dy

4、曲线

y ex x在点（0，1）处的切线方程是

5、若

f(x)dx sin2x C，C为常数，则f(x) 。

二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、若函数

f(x)

xx

，则lim

x 0

f(x) （ ）

A、0 B、 1 C、1 D、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）

A. ln

1

(x 0 ) x

B. lnx(x 1) C. cosx (x 0) D.

x 2

(x 2) 2

x 4

3、满足方程

f (x) 0的x是函数y f(x)的（ ）．

A．极大值点 B．极小值点 C．驻点 D．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ ）

A、

sinxdx B、 e 2xdx C、

11

D、

0xx

5、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则 AMBA、

B、 C、342

D、

三、 计算题（每小题7分，本题共56分）

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1、求极限

lim

x 0

4 x 2

。

sin2x

2、求极限

11lim( x) x 0xe 1

cosx t

edt1

2

3、求极限

lim

x 0

x

2

4、设

y e5 ln(x x2)，求y

x ln(1 t2)d2y

f y(x)由已知 ，求 2

dxy arctant

12

sin( x2x 3)dx

xe cosxdx

5、设

6、求不定积分

7、求不定积分

8、设

1 1 ex

f(x)

1 1 x

x 0

， 求

x 0

2

f(x 1)dx

四、 应用题（本题7分）

求曲线

y x2与x y2所围成图形的面积A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。

五、 证明题（本题7分） 若

1

f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) f(1) 0，f() 1，证明：

2

在(0,1)内至少有一点 ，使

f ( ) 1。

参考答案

一。填空题（每小题3分，本题共15分） 1、e 2、k =1 ． 3、

6

x

4、y 1 5、f(x) 2cos2x 1 x

二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A

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三．计算题（本题共56分，每小题7分） 1.解：lim

x 0

x12x14 x 2

lim lim 7分 x 0sin2xsin2x(4 x 2)2x 0sin2x(4 x 2)8

11ex 1 xex 1ex1

2.解 ：lim( x 7分 ) lim lim lim

x 0xe 1x 0x(ex 1)x 0ex 1 xexx 0ex ex xex2

cosx

2

3、解：

lim

x 0

t

e dt1

x2

sinxe cos

limx 02x

2

x

1

7分 2e

4、解：

y

1x x

1 x

22

(1

1 x

2

)……………………… …...4分

……………………………………… …...7分

1

dy215、解：

2tdx2t1 t2

dyddy

()dx2dtdx

2

（4分）

12t2

1 t2 32t4t21 t

（7分）

6、解：

1212212sin( 3)dx sin( 3)d( 3) cos( 3) C （7分） x2x 2x32x

7、 解：

e

x

cosxdx cosxdex

excosx exsinxdx…………………… …….2分 excosx sinxdex

..………………… ……….3分

excosx exsinx excosxdx ……… ……5分

ex(sinx cosx) C ……………… ……… …7分

8

、

解

：

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f(x 1)dx

21

1

f(x)dx f(x)dx f(x)dx… …2分

1

01

1dxdx 01 x ……… ………3分 11 ex0

ex1

(1 )dx ln(1 x)…… ……5分 x0 11 e

1 ln(1 e)

x

0 ln2 ……………… …6分

1

1 ln(1 e 1) ln(1 e)………… 四． 应用题（本题7分）

解：曲线

y x2与x y2的交点为（1，1）

， 于是曲线

y x2与x y2所围成图形的面积A为

1

3

A (x x2

)dx [2x2 1x21

33]10

3 A绕

y轴旋转所产生的旋转体的体积为：

1

V (y)2 y4

y21

dy

y5 3 0

25 010五、证明题（本题7分） 证明： 设F(x)

f(x) x， ……………………….……… 显然F(x)在[

12,1]上连续，在(1

2

,1)内可导， 且

F(12) 1

2

0，F(1) 1 0.

由零点定理知存在x1

[1

2

,1]，使F(x1) 0. …….… 由F(0)

0，在[0,x1]上应用罗尔定理知，至少存在一点

(0,x1) (0,1)，使F ( ) f ( ) 1 0，即f ( ) 1 … ……7分

1分 4分 7分 ……2分 …………4分

…7分

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