新课标人教A版高中数学选修4-5第二讲证明不等式的基本方法课件(二)

第二讲证明不等式的基本方法(二)复习概括

接上一节的 练习

思考一

思考二

课外练习

作业:课本 P 习题 2.3 第 1、 3、 6 题 . 30

第二讲证明不等式的基本方法(二)比较法分析法综合法作差(或作商)尝试！ 转化尝试！(执果索因)

上节课，我们认识了证明不等式的三种基本方法：

B B1 B2

Bn A

联想尝试！(由因导果)

A A1 A2

An B

接上一节的练习 : 1.(课本第 22 页例 2)(为什么糖水加糖会变甜？) a m a . 已知 a , b, m 都是正数, 并且 a b ,求证: b m b 2.(课本第 24 页例 2)(重要不等式是联想的基础) 已知 a1 , a2 , , an R ,且 a1a2 an 1 , 试证: (2 a1 )(2 a2 )(2 an ) ≥ 3n

3.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)(分析法是解题的绝招) 已知 a 1 , b 1 ,求证: 1 ab a b

1放缩法

3答案

3.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)(分析法是解题的绝招) 已知 a 1 , b 1 ,求证: 1 ab a b 证明 :∵要证 : 1 ab a b ,只要证 1 ab a b 即 1 2ab a b a 2ab b , 只要证 1 a 2b2 a 2 b2 , 只要证 a 2b2 a 2 b2 1 0 , 只要证 (a 2 1)(b2 1) 0 2 2 ∵ a 1, b 1 ∴ a 1, b 12 2 2 2

2

2

∴ a 2 1 0, b2 1 0 2 2 ( a 1)( b 1) 0 ,∴ 1 ab a b ∴

1.(课本第 22 页例 2)(为什么糖水加糖会变甜？) a m a . 已知 a , b, m 都是正数, 并且 a b ,求证: b m b 法一:直接作差比较(见课本) 法二:作商比较 (∵ a , b, m 都是正数) 法三:分析法( 先转化再证) 法四:综合法( 直接由条件出发 ) 法五:(放缩法 )∵ a , b, m 都是正数, a b ,∴ bm am a m b(a m ) ab bm ab am a a m a . ∴ ∴ b m b(b m ) b(b m ) b(b m ) b b m b

方法五是通过把不等式中的某些部分的值放 大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,讲 这种证明方法称为放缩法.

思考一:试证下面的不等式: 1.已知 a 0, b 0, 求证: a b 1 ab ≥ 2 2.

x , x [0, ), 2.已知函数 f ( x ) 1 x (1)求证: f ( x ) 在 [0, ) 为增函数; ⑵△ ABC 的三边长是 a, b, c,且 m 为正数， 求证: a b c .

3.(课本第 28 页例 3)已知 a, b, c, d R a b c d 2 求证: 1 a b d b c a c d b d a c2答案

a m b m c m

x , x [0, ), (1)求证: f ( x ) 在 [0, ) 为增函数; 2. 已知函数 f ( x ) 1 x ⑵△ ABC 的三边长是 a, b, c,且 m 为正数，求证: a b c a m b m c m

证明 :⑴∵设 x1, x2 0, 且 x1 x2 ,则x1 x2 0 , 1 x1 0 , 1 x2 0

x1 x2 x1 x2 ∵ f ( x1 )

f ( x2 ) ,∴ f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , 1 x1 1 x2 (1 x1 )(1 x2 ) ∴ f ( x) 在 [0, ) 为增函数 .

a b c ⑵∵在△ ABC 中有 a + b > c>0,∴ f(a + b)>f(c),即 . a b m c m a b a b a b * 又∵ a,b R ,∴ , a m a m a b m a b m a b m a b c ∴ . a m b m c m

思考二:证不等式直接法较难解时可考虑用反证法. 1.已知 f ( x ) x 2 px q , 1 求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 . 2

2.已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0, abc > 0, 求证：a, b, c > 0

假设命题结论的反面成立，经过正确的推理, 引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题 成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反)

1答案

2答案

已知 f ( x ) x 2 px q ,求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有 1 一个不小于 . 2 1 分析：设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 ， 2 观察： f (1) 1 p q, f (2) 4 2 p q, f (3) 9 3 p q 得： f (1) 2 f (2) f (3) 2 所以 2= | f (1) 2 f (2) f (3) | ≤ | f (1) | 2 | f (2) | | f (3) | 1 1 1 < +2× + =2 这是不可能的，矛盾表明原结论成立。 2 2 2 证明：略. 说明： “至少”型命题常用反证法，由于其反面情况也只有一 种可能，所以属于归谬反证法.

练习2.已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0, abc > 0, 求证：a, b, c > 0

证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0,则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0

课外思考: 1.如果 a b , ab 1 ,求证: a 2 b2 ≥ 2 2(a b) 2.已知 a, b, c 都为正数，且 a+ b+ c=1, 求证: 4a 1 4b 1 4c 1 ≤ 21 . 3.在锐角三角形ABC中，

1 1 1 1 4.n为正整数,求证: 2 2 2 2 2 1 2 3 n 1 1 25 5.已知 a b 1 , 求证: (a )(b ) ≥ a b 4作业:课本 P 习题 2.3 第 1、 3、 6 题 . 30

求证：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

1 1 1 1 4.若 n 是自然数，求证 2 2 2 2 2. 1 2 3 n 1 1 1 1 证明： , k 2, 3,4, , n. 2 k k (k 1) k 1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 ( n 1) n 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = 2 2. = ( ) ( ) ( 1 1 2 2 3 n 1 n n 1 1 1 1 注意：实际上，我们在证明 2 2 2 2 2 的过程中， 1 2 3 n 1 1 1 1 1 已经得到一个更强的结论 2 2 2 2 2 ,这恰恰 1 2 3 n n 在一定程度上体现了放缩法的基本思想.

2 2 3 3 3 x 0, y 0, : x y x y 1.已知 求证 2 2 2.求证: a b ≥ a b ab 1

课外训练:

3.设 a 3 b3 2 ,求证: a b ≤ 2.

1 1 1 1 1

. 4.设 n 为大于 1 的自然数,求证: n 1 n 2 n 3 2n 2x y z x x y z z 5.已知 a, b, c, x, y, z 都是正数 ,且 , 求证 : . a b c a a b c c a sin x b a b 6.设 a b 0 ,试用反证法证明 不能介于 a sin x b a b a b 与 之间 . a b

作业:课本 P 习题 2.3 第 1、 3、 6 题 . 30

3.设 a 3 b3 …… 此处隐藏：1473字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……