点到直线距离公式推导

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如何在数学教学中培养学生的思维能力 思维能力是数学能力的核心．而提高学生思维能力的关键就是逐步培养学生思维的深刻性、灵活性、独创性、广阔性、敏捷性和批判性．下面以人教社高二（上）数学教材第7．3节“两条直线的位置关系”中“点到直线的距离”为例，谈谈如何提高思维能力．

一、善于用批判的眼光来审视教材，培养思维的批判性和独创性

在引入本节教学内容后，提出问题：在指教坐标系中，已知点P的坐标和直线l的方程，怎样求点P到直线l的距离？

生1：过点P作直线l的垂线，垂足为Q，然后先求出直线PQ的方程，再由直线PQ的方程与直线l方程联立，解出点Q的坐标，再由两点之间的距离公式，求出线段PQ的长，即为点P到直线l的距离。

设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ l可

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知直线PQ的斜率为B，依据点斜式可写出直线PQ的方程，

A

并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出PQ，得到点P到直线l的距离．

教材中作了这样的解释“这个方法虽然思路自然，但是运算较繁”，面对教材的这一解释，在本节古今中外，凡是有杰出贡献的科学家，他们都有一个共同的特点——用辨证的、批判的眼光去观察周围的事物，通过自己的独立思考，发现新的问题．你是就此停下，按照教材去阅读、领会教材给出的证明方法，还是继续独立地去探究，能否用上面所介绍的方法比较简便地证明出点到直线的距离公式呢？那么就要研究上面的证法为什么运算比较繁，能否通过巧妙的变换使得运算变得简单呢？通过研究不难发现，上面的证法之所以比较繁，是由于要通过解方程组求出交点的坐标，然后再代入到两点间的距离公式进行计算，且这两个步骤运算都比较繁，要简化运算，就要尝试去避开这些较为复杂的运算．于是，

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只要围绕证明的目标d

直接构造以x x,y y为元的方程，这一证法还是非常简便的．

证法一：因为直线PQ的方程为y y

B

(x x0)， A

B

y y (x x0), 0

A 由 （Ⅰ）

Ax By C 0.

得

B(x x0) A(y y0) 0, A(x x) B(y y) Ax By C.0000

（Ⅱ）

把方程组（Ⅱ）中两式平方相加，得

222

(A2 B2) (x x) (y y) (Ax By C)， 0000

2(Ax By C)2200

(x x) (y y) ．

00

A2 B2

d

．

二、领会教材给出的证明方法的实质，探求其他证法，培养思维的深刻性、敏捷性、灵活性

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教材中给出的证明方法的实质体现了解析几何中常用的、重要的思想——化斜为直，即将不与坐标轴平行的线段长的问题转化成与坐标轴平行的线段（或坐标轴上的线段）长的问题．在学习了教材的证明方法后，为了加深对这一思想方法的理解，你也可以利用这一思想方法，探求其它证明点到直线的距离公式的方法．

证法二：如图1，过P作直线l'

∥l，设直线l'和l分别交x轴于点M、

N

，过M作MH 直线l于点H，则MH

'

就等于点P到直线l的距离，记为d．

设直线

l'

的方程为

图1

Ax By C' 0，由于点P(x0,y0)在直线

l'

上，

Ax0 By0 C' 0， C' (Ax0 By0)．

直线l'：

Ax By (Ax0 By0) 0．

Ax0 By0

令y 0，得xM ； A

在直线l：Ax By C 0中，

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C

令y 0，得xN A．

Ax0 By0 C

MN xM xN ． A

设直线l的倾斜角为 ，则tan A，且 MNH ，

B

2222

AAA BB2

tan , sec2 1 tan2 1 2 . cos 2,22

BBBA B

A22

sin 2, sin 2A B

Ax0 By0 C d MH MNsin MNH MNsin( ) sin

AAx0 By0 C A

说明：在证法二中，先将点P到直线l距离转化成过点P的且与l平行的直线l'与l的距离，并通过特殊位置——x轴上的线段MN的长，利用三角函数解决了问题，体现化斜为直的思想．当然，也可以对证法二进行适当的变化来证明点到直线的距离公式，由兴趣的读者不妨去

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试一试．

三、从其它角度入手，探求证明方法，以培养思维的广阔性

在解决数学问题时，要善于多角度去思考问题，这样，不仅可能会有意想不到的收获，而且，对培养同学们的思维的广阔性、解题的综合能力也是非常有益的．

证法三：如图2，过点P作PQ垂直于直线l于点Q，设点Q的坐标

为Q(x1,y1)，则QP (x0 x1,y0 y1)

．由于向

量n (A,B)是直线l的一个法向量（直

线l的法向量是指与直线l垂直的向

量，详见教材P.55阅读材料“直线与向量”），则向量n与PQ

的夹角为0或180．由向量的数量积得

o

o

n QP |n||QP|cos ，即

A(x0 x1) B(y0 y1)

|QP| ( 1)，

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|(Ax By) (Ax By)|

|PQ| ．

又因为点Q(x,y)在直线l上，所以Ax1 By1 C 0，

1

1

Ax1 By1 C．所以点P到直线l的距离

为

d

．

说明：证法三通过构造向量的数量积轻松地证明了点到直线的距离公式，也体现了向量这一内容的基础性和工具性的地位．

上面以点到直线的距离公式的证明为例，谈了提高思维能力的方法，在今后学习新知识以及解题过程中，要积极思考、勇 …… 此处隐藏：2211字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……