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an 1 pan q rn型数列通项公式的求解策略——分 消 化 迭 归

由递推公式求数列的通项公式是数列中的常见题型,也是高考考察的热点.本文就递推关系为

an 1 pan q rn(p,q,r为非零常数)的数列通项公式的求法(或证法),谈以下几种求解策略,仅供

参考.

例 数列 an 中，a1

511

，an 1 an n 1 (n N)，求数列 an 的通项公式. 632

分析 构造等比数列是求解该题的有效途径. 策略1 分——将确定x的值.

解法1 由an 1

x 1

拆分成两部分,分配给a与a.构造新数列a,由待定系数法 nn 1nn n 1

22

x1 x11

an n 1, 可设an 1 n 1 an n3223 21x1

, 即 n. aan 1n

362

由

31 3 3 x113

n n 1,解得x 3. ∴an 1 n 1 an n , ∴数列 an n 是以a1 622223 2 2

n 1

32 1 21

为首项,以为公比的等比数列. ∴an n

23 3 33

232

, ∴a n. nnn

233

11

a a 1 n 13n2n 1

策略2 消——由 ,消去n 1生成新的等比数列.

2 a 1a 1

nn 1 32n 11 a a (1) n 13n2n 1

， 解法2 由题意，

a 1a 1,n 2 (2)nn 1 32n

(1) －(2)×

11 11

,得an 1 an an an 1 ,n 2. 223 2

1 111

an 是以a2 a1 为首项,为公比的等比数列. 2 293

n 1

∴数列 an 1

11 1

∴an 1 an

29 3

132

33……() 将(1)式代入()式,整理得a . n

3n 12n3n

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