第65课时 多面体和球

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课题：多面体和球

教学目标：1.了解多面体、凸多面体的概念 了解正多面体的概念，知道欧拉公式V F E 22.要使学生理解两点的球面距离，掌握球的表面积及球的体积公式、求球面面积、球的体积及两点的球面距离.

3.球是最常见的几何体.高考对球的考查主要在以下四个方面： 1 球的截面的性质； 2 球的表面积和体积； 3 球面上两点间的球面距离； 4 球与其他几何体的组合体.而且多以选择题和填空题的形式出现.第（4）方面有时用综合题进行考查. 教学重点：

（一） 主要知识及主要方法：

1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.

2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.

3.简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面.如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体.

说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体

4.

E有关系式：V F E 计算棱数E常见方法： 1 E V F 2； 2 E 各面多边形边数和的一半； 3 E 顶点数与共顶点棱数积的一半.

6.球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，.一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O

7.球的截面：用一平面 去截一个球O，设OO 是平面 的垂线段，O 为垂足，且OO d，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r 圆，截面是一个圆面.

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆 8.两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.l R ( 为球心角的弧度数).

49.球的表面积和体积公式：S 4 R2，V R3. 3

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（二）典例分析：

问题1． 1 （05辽宁）棱长为a的正方体，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的

a2

八面体的体积为 A.3

a2B.4 a2C.6 a2D. 12

2 已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等且为1，把它们拼起来，使一个表面重合，所得的多面体有多少个面？

问题2． 1 (07天津）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为

2 (07全国Ⅰ文)正四棱锥S

ABCD都在同一个球面上，则该球的体积为

468 S,A,B,C,D

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在外接球面上两点A、B间的球面距离是 A.

ππ2π5π B. C. D. 6336

4 （06陕西）水平桌面 上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面 的距离是

问题3． （07四川）设球O的半径是1，A、B、C

是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是

且二面角B OA C的大小为 ，2 ，则从A点沿球面经B、3

C两点再回到A点的最短距离是

7 5 4 A.C. B. 6

43D.3

2

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问题4．三棱锥A BCD的两条棱AB CD 6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径和外接球半径.

问题5．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?

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（三）课后作业：

1.正方体、正多面体、凸多面体、简单多面体是什么关系？

2.已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱相交，试求该凸多面体的面数、顶点数和棱数.

3.一个广告气球被一束入射角为 的平行光线照射，其投影是一个长半轴为5m的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是

4.在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA PB PC a，那么这个球面的面积是 A.2 a2 B.3 a2 C.4 a2D.6 a2

5.北纬30 的圆把北半球面积分为两部分，这两部分面积的比为

A.1:1 B.2:1 C.

D.

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6.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半， 且AB BC CA 2，则球面面积是

A.

16π 9 B.8π 3 C.4 D.64π 9

7.正八面体的相邻两个面所成二面角的大小为

11 1A.arccos B. arccos C. arccos 33231D. arccos 3

（四）走向高考：

8.（07陕西）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 A.333 B. C. D. 34124

9.（07辽宁）

，

上，则此球的体积为

10.（07全国Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 2cm 2

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