中科院量子力学超详细笔记 第七章 电子自旋角动量

中科院量子力学超详细笔记 第七章 电子自旋角动量

第七章 电子自旋角动量

实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子的内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性的效应。这个内禀角动量很自然地体现在该在Dirac的相对论性电子方程中，

&&dinger方程是最低阶非相对论近似的结方程的旋量结构上。由于Schro

&&dinger方程自然也就忽略了它们。换句话说，在电子运果，因此Schro

动能量为非相对论性的情况下，自旋作用表现出来是另外一种自由度，与电子的外部空间运动没有直接关系，所以对它的描写只能以外

&&dinger方程上。到目前为止，非相对论量子力学所来方式添加在Schro

拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种场合下的运动和变化。但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）的物理本质依然不十分了解。

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§7.1 电子自旋角动量

1, 电子自旋的实验基础和其特点

早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子2p→1s的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912年反常Zeeman效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能分裂谱线为(2l+1)重，即奇数重；1922年

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杨振宁讲演集，南开大学出版社，1989年

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Stern—Gerlach实验，实验中使用的是中性顺磁的银原子束，通过

一个十分不均匀的磁场，按经典理论，由于束是中性的，不受Lorentz力的作用。由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发出来成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的，于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况的实测结果为±μB，即数值为Bohr磁子。

针对以上难以解释的实验现象，1925年Uhlenbeck和Goudsmit提出假设：电子在旋转着，因而表现出称之为自旋的内禀角动量s,它在任意方向的取值只能有±两个数值。为使这个假设与实验一致，假定电子存在一个内禀磁矩μ并且和自旋角动量s之间的关系为（电子电荷为 e）

μ=

r

ev

s （7。1） c

v

2r

v

这表明，电子自旋的旋磁比是轨道旋磁比的两倍。于是，电子便具有了μ,e,s,μ共四个内禀的物理量。根据实验事实用外加的方式引入电子自旋这一内禀自由度之后，不仅原子的磁性性质，而且原子光谱本身的一些精细结构，以及在外场下的多重分裂现象，也都得到了很好的解释。

然而，认为电子自旋角动量来源于电子旋转这一经典图象却立即遭到否定。假设电子半径为re，作为定性的估算可以合理地假定

vr

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e2

~μc2,rep~h re

∴ υ=

p

≈

c

≈ 2 c=137c, re e

这就是说，为了要在re的半径下旋转得出h的角动量，电子必须大致以137倍的光速转动才行。显然这是一个不能接受的图象。这说明，电子的自旋角动量有着另外的更深刻的内禀原因。虽然现在能进行有关电子自旋和磁矩的各种计算，但仍然还不能说对电子自旋的物理本质有透澈的了解。

2, 电子自旋态的表示法

由于电子自旋是一个新的自由度，并且相应于这个新自由度的新变数sz只能取两个值±，于是电子的状态波函数应当是一个两分量的列矢量，

v

ψ1(r,t) rvv

(ψ(r,sz,t)= =ψ(rt)α+ψrt)β v 12 ψ(r),t 2 1

0

2

(7.2)

这里α= 0 ,β= 1 分别代表自旋角动量第三分量

sz取朝上和朝下 的状态。于是

22

2v∫1dr=自旋朝上的几率

∫2dr=自旋朝下的几率

2

v

总的归一化表示为

+ψ∫ψdr=∫dr1+2

vv

(

22

)=1

(7.3)

或是自旋部分和空间部分可如果系统哈密顿量H中不含自旋角动量，

，则自旋波函数和空间波函数就可以分离， 以分开（即H=H0+Hs）

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vv

ψ(r,sz,t)= (rt)χ(sz,t) χ1(t) χ(s,t)= ((=χtα+χtβ21 χ(t) z

2

&&dinger方程便由单分量的方程扩充为考虑电子自旋角动量之后，Schro

两分量的方程，后者常称为Pauli方程。

3, 自旋算符与Pauli矩阵

一方面，自旋既是角动量就应当满足角动量的对易规则， [si,sj]=ihεijksk,

这里i=x,y,z 等 （7。4）

1

2

另一方面，自旋变数取值只有两个，±，并且波函数相应为两分量的列矢量，于是自旋角动量的三个分量算符Si自然应当是3个2×2的厄米矩阵，以便对这些两分量的列矢量进行变换。于是，引入三个二阶厄米矩阵σi来表示Si，令

Si=

σi, (i=x,y,z) 2

(7.5)

这里已经抽出Si的绝对数值，所以σi的本征值只能为±1，就是说，

σi为自逆矩 …… 此处隐藏：7366字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……