智轩考研数学红宝书2010精华习题完全解答---概数第四章 随机变量的数字特征

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第四章 随机变量的数字特征精华习题

一、填空题

1． 设二维随机变量(X, Y)~U0<x<1; y<x，Z=3X+2，则DZ=_____。 2．

()

3于456123 èY

=E(X)E( ［ ］ ÷

Yø

（Ｃ）Ｄ(ＸＹ)<Ｄ(Ｘ)Ｄ(Ｙ) （Ｄ）Eç

4．设二维连续型随机变量（Ｘ，Ｙ）服从D={(x,y)|x2+y2£a2}上的均匀分布，则

（Ａ）Ｘ和Ｙ不相关，不独立。 （Ｂ）Ｘ和Ｙ相互独立。

（Ｃ）Ｘ和Ｙ相关。 （Ｄ）Ｘ和Ｙ均服从(-a, a) 上的均匀分布。 ［ ］

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5．已知随机变量X~N(0, 1)，随机变量Y=X，则Ｘ与Ｙ

2

（Ａ）相关且不独立 （B）不相关且独立

（C）不相关且不独立 （D）相关且独立 [ ]

三、解答题

1．设X,Y是两个离散随机变量，可能的取值为X=-1, 1；Y=-1, 0, 1；EX=0.2; EY=0.25;

P{

23 4．5Y2

6

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第四章 随机变量的数字特征精华习题完全解答

二、填空题

1．设二维随机变量(X, Y)~U0<x<1; y<x，Z=3X+2，则DZ=_____。

()

【解】设A=“每次检验调整设备”，Y=“10件产品中所发现的次品数”，则Y~B(10, 0.1)，X~B(4, p)

01

p=P(A)=P{Y³2}=1-P{Y=0}-P{Y=1}=1-C10(0.1)(0.9)-C10(0.1)(0.9)=0.26

10

1

9

EX=np=4´0.26=1.04; DX=np(1-p)=4´0.26´0.74=0.75

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ìï0,x<-1,

4．设随机变量Ｘ的分布函数F(x)=ï

í0.2,-1£x<0,则E(|X|)=____, D(|X|)=_____.

ï0.6,0£x<1,ïî1,x³1.

5 61ìïEíï22îE(X-m)=ëé

E(X-m)ùû+D(X-m)=(m-m)2+s2=s2

2．设随机变量Ｘ和Ｙ相互独立，均服从U(0, 1)，则服从相应区间或区域上均匀分布的是

（Ａ）X2 （Ｂ）Ｘ＋Ｙ （Ｃ）Ｘ－Ｙ （Ｄ）（Ｘ，Ｙ） ［ ］

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【解】选(D)。(X,Y)~f(x,y)=fX(x)fY(y)=í 读者请研究一下其余选项为什么不是均匀分布。

3．设随机变量Ｘ与Ｙ相互独立，则

ì1, 0<x<1,0<y<1

~U(0, 1; 0 1)

0, otherî

æXöE(X)

45P

故1P{X=-1, Y=1}=0.2; P{X=1, Y=-1}=0.1; P{ Y=-1}=0.2。求cov(X, Y+Y2)。

【解】covX, Y+Y2=cov(X, Y)+covX, Y2=(EXY-EXEY)+EXY2-EXEY2 显然必须先求出(X, Y)和X, Y2的分布律。

()()()

()

X

Y

-1

0 1

P{X=Xi}=Pi×

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-1 11 12 0.2 1× 1

0.1 p22 p23

p2× P{Y=yj}=P×j

0.2

p×2

p×3

1

P{ Y=-1}=0.2ÞP{Y=-1}=P{X=-1,Y=-1}+P{X=1,Y=-1}=0.2

p11=P{X=-1,Y=-1}=P{ Y=-1}-P{X=1,Y=-1}=0.2-P{X=1,Y=-1}

=0.2-0.1=0.1EX=0.2, EY2=1´(0.3+0.35)=0.65, EXY2=-0.3+0.35=0.05cov(X, Y2)=EXY2-EXEY2=0.05-0.2´0.65=-0.08

Þcov(X, Y+ Y2)=cov(X, Y)+cov(X, Y2)=-0.08

2．设二维随机变量(X, Y)~U(0, 1; 0, 1), W=(Y-X)2

，求EW和DW。

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【解】本题有三种解法

【解法一】一维分布函数法，要求求出Z=Y-X的概率密度fZ(z)，这是一个一维分布。而求分布函数，有三种方法，一是定义法，一般不采用，二是面积法，但分段不清晰，且必须先求分布函数，再求概率密度，三是智轩平移法。

ì11dx=1+z, -1<z£0ïò-z

FZEX4115

EW2=E(Y-X)=EY4-4EY3EX+6EY2EX2-4EYEX3+EX4=DW=EW-(EW)

2

2

1æ1ö7=-ç÷=15è6ø180

2

【解法三】定义法

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EW=òdxò(y-x)f(x,y)dy=òdxò(y2-2xy+x2)dy

2

1111

1111

=òdxòydy-2òxdxòydy+òxdxòdy=-+=

0000003236

11111442

EW=òdxò(y-x)f(x,y)dy=òdxò(y-x)

dy=

000015

1

1

2

1

1

1

2

1

2

2

1æ1ö7

2

=íÞfy=()í-lyY-ly-l

P0<X£y+P X>1=1-e+e, 0£y<1}{}ï{ïle, 0£y<1ïï0, y³1P0<X£1+P X>1=1, y³1î{}{}îÞEY=ò

x£1

xfX(x)dx+ò(-x)fX(x)dx=ò0xlex>1

1

lx

dx-ò

+¥

1

xlelxdx=

1æ1ö

-2e-lç1+÷lèlø

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5．设Xì0, X1+X2=1

1、X2相互独立，Xi~B(i, p)，i=1,2。令随机变量Y1=í

î1, X,

1+X2

¹1Yì0, X2-X1=2

2=íî1, X，试确定p使sX1X2最小。

2-X1

¹2解：根据题意，X1+X2~B(3, p)，又Y1、Y2、Y1Y2都服从0-1分布。故EYi=P{Yi=1}。

EYEYP{P{(s(s6FY2D(ì=ïíïîþîþ=æç(n+2n2+n3)q2

ç-n2q2öæ2q2q2ö2q22q24q2

2÷+ç-÷=+=è

n+1n+2(n+1)÷øçèn+1n+2(n+1)2

÷øn+1n+2n+1n+2n+1n+2