平面几何四点共圆提高训练A卷

共圆点A卷

一、选择题

1、设ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：

(1)sinA=sinC； (2)sinA+sinC=0； (3)cosB+cosD=0； (4)cosB=cosD； 其中总能成立的关系式的个数是( )

A、一个； B、两个； C、三个； D、四个； 2、下面的四边形有外接圆的一定是( )

A、平行四边形； B、梯形； C、等腰梯形； D、两个角互补的四边形； 3、四边形ABCD内接于圆，∠A：∠B：∠C=7：6：3，则∠D等于( ) A、36º； B、72º； C、144º； D、54º；

4、如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=AD=AC，AH⊥CD于H，CP⊥BC交AH于P

，若AB AP=1，则BD等于( )

A

、 B、2； C、3； D

；

5、对于命题：①内角相等的圆内接五边形是正五边形；②内角(1)相等的圆内接四边形是正四边形。以下四个结论中正确的是( )

A、①，②都对； B、①对，②错； C、①错，②对； D、①，②都错； 二、填空题

6、如图2，△ABC中，∠B=60º，AC=3cm，则△ABC的外接圆半径为 。

7、如图3，△ABC中，∠ACB=65º，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则∠AED= ,∠CED= 。

8、如图4，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c，则AE= ，DE＝ 。

9、如图5，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内一点，且∠OPB=45º，PA：PB＝5：14，则PB= 。

10、如图6，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中，若AB和BC的长度各为1，CD 那么AD= 。

7

，2

D

A

(6)

B

(2)

C

E(3)

DB

(4)

A

(5)

A

D(7)

A

81

A

E

B

6

3

B

E(11)

72

(9)

(8)

(10)

1

三、解答题

11、如图7，在△ABC中，AD为高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：B、C、F、E四点共圆。

12、如图8，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于F，AB，DC的延长线交于E，EG平分∠AED交BC于M，交AD于G，FH平分∠AFB交AB于H，交CD于N。求证：EG⊥FH。

13、如图9，AD、BC为过圆的直径AB两端点的弦，且BD与AC相交于E。求证：

AC AE BD BE AB2。

14、如图10，O为凸五边形ABCDE内一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，求证：∠9与∠10相等或互补。

上一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。15、如图11，△ABC内接于圆，P为BC

求证：D、E、F三点共线。

2

共圆点A卷答案 一、选择题 1、(B)；

因ABCD为圆内接四边形，故对角互补，即∠C＝180º－∠A，且∠A，∠C均不为0º或180º，∴(1)式恒成立，(2)式恒不成立。

同样由∠D＝180º－∠B得，(3)式恒成立；(4)式只有∠B＝∠D=90º时成立，故选(B) 2(C)；

平行四边形及梯形都不能保证对角一定互补，而两个角互补的四边形，互补的两个有未必是对角。等腰梯形对角互补，故一定有外接圆。

3、(B)；

如图，因四边形ABCD为圆内接四边形，故对角互补，所以∠A+∠C＝180º，又∠A∶∠C=7∶3，设∠A＝7x，∠C=3x，∴x=18º∴∠B=108º PB

又因∠B+∠D=180º故∠D=72º

4、(C)；

由AB=AC=AD=BC知，B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，且由

的度数为60º，∠BDC=30º又∠ACP=30º，∠BDC=∠ACP ∠BAC=60º，知弧BC

1

又∵∠CAP=∠CAD=∠CBP，∴△BCD∽△APC

3

ACAP∴ 又∵AB=AC=3，AP=1∴BD=3 BDBD5、(B)；

命题①正确，证明如下：

CEC EA如图，ABCDE为圆内接五边形各内角相等。由∠A=∠B，知B EA ∴BC

A

B

C，

∴BC=EA

同理可证BC=DE=AB=CD=EA ∴ABCDE为正五边形

命题②不正确，反例如下：如图，ABCD为圆内接矩形，∠A=∠B=∠C=∠D=90º， AB=CD，BC=DA，但AB BC，显然，ABCD满足命题②的条件，但它不是正方形。 二、填空题 6

； 根据正弦定理：

AC

2R (R为△ABC的外接圆半径)，AC=3cm，B=60º故R=cm sinB

7、65º，25º

由已知，BD⊥AC，CE⊥AB

∴∠BEC=∠BDC=90º，∴B、C、D、E四点共圆，又∠AED为四边形BCDE的外角，由圆内接四边形的性质知，∠AED=∠BCD=65º，又∠CEA=90º故∠DEC=25º

acbc8、,

ba

由已知，A、B、E、C四点共圆，得∠EBC=∠EAC，又AD平分∠BAC， ∴∠BAE=∠EAC，∴∠BAE=∠EBC且∠E=∠E∴△ABE∽△BDE， ABAEBEaAEc∴即 BDBEEDbcED

3

acbc,ED ba

9、42；

如图，连结OA，OB，由于O为正方形的中心，得∠OAB=45º ∠AOB=90º 又∵∠OPB=45º ∴OPAB四点共圆， ∴∠AOB=∠APB=90º

∴AE

DC

设PA=5x，PB=14x，在Rt△APB中，PA2 PB2 AB2

又正方形的面积为1989cm2，∴AB2＝1989∴(5x)2 (14x)2 1989 ∴x=3 则PB=14×3＝42。 10、4；

如图，连接AC，因AD为直径∴∠ACD=90º∴AC2 AD2 CD2,cos D 又A、B、C、D四点共圆，∴∠B+∠D=180º∴cos∠B=－cos∠D=

CD

AD

CD

AD

在△ABC中，由余弦定理得：AC2 AB2 BC2 2AB BC cos B 即AD2 CD2 AB2 BC2 2AB BC cos D ∴AD3 (AB2 BC2 CD2) AD 2 AB BC CD 0 将AB=BC=1，CD

7

代入并整理得： 2

4AD3 57AD 28 0，

即4AD3 64AD 7AD 28 0， ∴4AD(AD 4)(AD 4) 7(AD 4) 0

即(AD 4)(4AD2 16AD 7) 0，∴AD=4(舍负)

三、解答题

11、证明，如图，连接E、F，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴ …… 此处隐藏：1559字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……