人教B版人教B版高中数学必修五第2章 2.1 第1课时 数 列.docx

马鸣风萧萧

高中数学学习材料

马鸣风萧萧*整理制作

第2章 2.1 第1课时 数 列

一、选择题

1．下面四个结论：

①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n })上的函数．

②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点． ③数列的项数是无限的．

④数列通项的表示式是唯一的．

其中正确的是( )

A ．①②

B ．①②③

C ．②③

D ．①②③④ [答案] A

[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式

可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0……的通项可以是a n ＝sin n π2

，也可以是a n ＝cos (n ＋3)π2

等等． 2．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是( )

A ．a n ＝n 2

[1＋(－1)n ]

B．a n＝n＋1

2[1＋(－1)

n＋1]

C．a n＝n

2[1＋(－1)

n＋1]

D．a n＝n＋1

2[1＋(－1)

n]

[答案] B

[解析]经验证可知B符合要求．

3．已知数列{a n}对任意的p、q∈N*满足a p＋q＝a p＋a q，且a2＝－6，那么a10等于()

A．－165 B．－33

C．－30 D．－21

[答案] C

[解析]∵对任意p、q∈N*都有a p＋q＝a p＋a q.

∴a10＝a8＋a2＝a4＋a4＋a2＝5a2＝－30.

4．数列1,3,7,15，……的通项公式a n＝()

A．2n B．2n＋1

C．2n－1 D．2n－1

[答案] C

[解析]a1＝1代入，排除A，B，a2＝3，排除D.

5．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第() A．18项B．19项

C．20项D．21项

[答案] D

[解析]观察可得{a n}的通项公式：a n＝6n－1，(n∈N＋)，55＝125＝6n－1，所以n＝21.

马鸣风萧萧

马鸣风萧萧 6．数列{a n }的通项公式a n ＝log n ＋1(n ＋2)，则它的前30项之积为( ) A.15

B ．5

C ．6

D.log 23＋log 31325

[答案] B

[解析] ∵a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)＝lg (n ＋2)lg (n ＋1)

∴a 1·a 2·…·a 30＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×…×lg32lg31＝lg32lg2

＝5. 二、填空题

7．写出下面数列的一个通项公式(填在横线上)，使它的前4项分别是下列各数：

(1)3,6,9,12；__________

(2)0，－2，－4，－6；__________

(3)21，32，43，54

；__________ (4)－12×1，12×2，－12×3，12×4

；__________ (5)1，14，19，116

；__________ [答案] (1)a n ＝3n (2)a n ＝－2(n －1) (3)a n ＝n ＋1n (4)a n ＝(－1)n

2n (5)a n ＝1n 2 8．数列－1，85，－157，249

，…的一个通项公式为________． [答案] a n ＝(－1)n n ·(n ＋2)2n ＋1

马鸣风萧萧 [解析] 奇数项为负，偶数项为正，调整其各项为－1×33，2×45，－3×57

，4×69，∴a n ＝(－1)n n ·(n ＋2)2n ＋1

. 三、解答题

9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.

(1)这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

(3)该数列从第几项开始各项都是正数？

[解析] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.

(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16(n ＝－9舍)，即150是这个数列的第16项．

(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)，

∴从第7项起各项都是正数．

10．已知数列1,2，73，52，135

，…. (1)写出这个数列的一个通项公式a n ；

(2)判断数列{a n }的增减性．

[解析] (1)数列1,2，73，52，135，….可变为11，42，73，104，135

，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n 对应，而分子比序号n 的3倍 少2，

∴a n ＝3n －2n .

(2)∵a n ＝3n －2n ＝3－2n ，∴a n ＋1＝3－2n ＋1

， ∴a n ＋1－a n ＝3－2n ＋1－3＋2n ＝2n －2n ＋1＝2n (n ＋1)

>0，

马鸣风萧萧 ∴a n ＋1>a n .故数列{a n }为递增数列．

能力提升

一、选择题

1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1

(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.13n ＋2

B.13n ＋13n ＋1

C.13n ＋1＋13n ＋2

D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 [答案] D

[解析] ∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1

， ∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2

，∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2

. 2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝

n n 2＋156(n ∈N ＋)，则数列的最大项是( )

A ．第12项

B ．第13项

C ．第12项或第13项

D ．不存在 [答案] C

[解析] a n ＝1n ＋156n

，n ＋156n ≥156， 但由于n ∈N ＋取不到等号，而a 12＝a 13

∴第12项和第13项都是最大项．

二、填空题

3．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图

中有________个点．

[答案]n2－n＋1

[解析]序号n决定了每图的分支数，而每分支有(n－1)个点，中心再加一点，故有n·(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．

4．已知{a n}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有a n＝n2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为________．

[答案]λ>－3

[解析]由{a n}为递增数列，得

a n＋1－a n＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，

即λ>－2n－1在n≥1时恒成立，

令f(n)＝－2n－1，f(n)max＝－3.

只需λ>f(n)max＝－3即可．

三、解答题

5．根据数列的通项公式，写出它的前4项：

(1)a n＝

n