2014年人教A版选修4-5教案 一 不等式(3)——三个正数的算术—几何平均不等式式

三个正数的算术—几何平均不等式

目的要求： 了解三个正数的算术—几何平均不等式及其一般形式.

重点难点：三个正数的算术—几何平均不等式及其应用。

教学设计：

一、 引入：

思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，可能有怎样的不等

式成立？

类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，可能有：若 a,b,c R ，那么 a b c abc，当且仅当a=b=c时，等号成立． 3

二、给出定理

333证明:若a,b,c R,当且仅当a b c时,等号成立. ,则a b c 3abc

33223和的立方公式：( x y) x 3xy 3xy y

立方和公式： x3 y3 (x y)(x2 xy y2)

a b c abc当且仅当a=b=c时，定理 如果 a,b,c R ，那么 等号成立． 3

（三个正数的算术平均不小于它们的几何平均）

说明：（１）若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它

们的和有最小值．

（２）若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积

有最大值．

定理推广：n个正数的算术—几何平均不等式：

a1 a2 a3 an若a1,a2,a3, ,an R ,则 a1a2a3 an, n

当且仅当a a a a时,等号成立.123n

三、教学实例

（1）出示例5已知x,y,z R ,求证 x y z 27xyz.x y z证明因为 xyz 0,33 x y z 3所以 xyz,即 x y z 27xyz.273

（三个正数的算术—几何平均不等式的一个简单变形，主要是这种变形的意识很

重要）.

（2）出示例6 如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的

小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边

长是多少时，才能使盒子的容积最

大？

解：设切去的正方形边长为x，无盖方

底盒子的容积为V，则

3311(a 2x) (a 2x) 4x2a (a 2x)(a 2x) 4xV (a 2x)x

4 274 3 2

a时，不等式取等号，此时Ｖ取最大6

1值．即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的 时，盒子的容积最大． 6

四、小结： 当且仅当 a 2x a 2x 4x ，即当x

回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，应用它们时的注意点。

五、课后作业