2011年考研数学春季基础班线性代数讲义-铁军

2011年考研数学春季基础班线性代数讲义-铁军

万学教育·海文考研

2011年万学海文线性代数春季基础班考研辅导讲义

主讲

铁军

教授

变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。

【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。

【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行

（列）展开定理计算行列式。

【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：

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第一章

行列式

戴！2011年，

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万学教育·海文考研2011春季数学基础班—线性代数

1．判定方阵是否可逆以及应用公式A 1=

1

A求逆矩阵；A

2．判定n个n维向量的线性相关性；3．计算矩阵的秩；

4．讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解；5．求方阵的特征值；

6．判定二次型及实对称矩阵的正定性。

同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中，

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请大家注意及时归纳总结。

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a00

2.n阶行列式

M0bba0M000baM00L00L00L00

=_____________________.MMLabL0a

4.计算四阶行列式

3a12a1b1D=

a1b123b1

3a22a2b2

2a2b2

3b3

3a32a3b3

2a3b3

3b3

3a42a4b4

2a4b4

3b4

3

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（其中a1,a2,a3,a4均不为0）

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5.计算四阶行列式

D=

11+sin 111+sin 211+sin 311+sin 4

sin 1+sin2 1sin 2+sin2 2sin2 1+sin3 1sin2 2+sin3 2sin 3+sin2 3sin 4+sin2 4sin2 3+sin3 3sin2 4+sin3 4

0000bnbn

4

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_________.式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，对于这类三对角型行列式通常可用递推法。

OOO

★形如OOO

OO

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8.五阶行列式

aa 11 a0a0000

D=0

00 1001 aa0=_____________. 11 aa0 11 a

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11.计算n阶行列式

a1bbba2bDn=bba3

LLLbbb

bbLbLbLLLan

(ai≠b,i=1,2,Ln)

CA

=( 1)mnA B.

BO

13.计算五阶行列式

6

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0001789

000 34

D=123

056005

2678

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A3A*

，14．设A,B均是n阶矩阵，A=a,B=b,C= 1 1

O (B) 2

则C=_________.

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17.设行列式

x 2x 1x 2x 32x 22x 12x 22x 3f(x)=，

3x 33x 24x 53x 54x4x 35x 74x 3

则方程f(x)=0的根的个数为（（A）1

（B）2

）

（D）4

（C）3

1．余子式和代数余子式

在n阶行列式Dn中,划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原有顺序构成的

n 1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij.

余子式Mij之前加上符号，称为元素aij的代数余子式，记作

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Aij=( 1)i+jMij

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2．代数余子式的性质：（1）Aij和aij的大小无关；

（2）ai1Ai1+ai2Ai2+L+ainAin=A，

a1jA1j+a2jA2j+L+anjAnj=A

（3）ai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn=0(i≠j)

(i,j=1,2Ln)

求（1）A12 A22+A32 A42；（2）A41+A42+A43+A44.

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AALA求

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20.设行列式

3

02

42

02

2

D=

0 70053 22

，则第四行各元素余子式之和的值为。

21．设A是三阶可逆矩阵，A 1的特征值：

A11+A22+A33.

（5）利用行列式加法运算的性质：

设αi为n维列向量，βi为n维行向量，则

1α2α3+α1α2α4=α1α2α3+α4，

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β1β1β1β2+β2=β2β3β4β3+β4

22.设A为3×3矩阵，A= 2，把A按列分块为(A1,A2,A3)，其中Aj(j=1,2,3)是A的

第j列，则A3 2A1,3A2,A1=

。

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