高中数学(北师大版)必修四课件：1-4-2单位圆与周期性

高中数学· 必修4· 北师大版

4.2 单位圆与周期性

[学习目标] 1.掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数 都是周期函数.

2.会利用正、余弦函数的周期性把求任意角的正、余弦值转化为0°~360°求值.

[知识链接] 设 f(x)=sin x,请判断以下说法是否成立，并说明理由. π π (1)当 x= 时，f x+2 =f(x); 4 π π (2)当 x=3时，f x+2 =f(x);

π (3)T=2是函数 f(x)=sin x 的周期. π π π π 2 答 (1)当 x=4时，sin 4+2 =sin4= 2 成立.

π π 1 π π 3 (2)不成立.当 x= 时，sin 3+2 = ;sin = , 3 3 2 2

f

π x+ ≠f(x). 2

π (3)T=2不是函数 f(x)=sin x 的周期，周期函数的定义是对定义 域中的每一个 x 值来说的，只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x) 不能说 T 是 f(x)的周期.

[预习导引]

1.三角函数的定义域正弦函数y=sin x的定义域是R;余弦函数y=cos x的定义 域是R. 2.正、余弦函数的周期性 sin(α+k·2π)= sin , α k∈Z; cos, α k∈Z.

cos(α+k·2π)=

由此我们可以得到如下结论： (1) 正弦函数、余弦余数都

是周期函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期.(2)终边相同的角的同一三角函数的值 相等 .

3.周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义

对于函数f(x),如果存在 非零 实数T,任取定义域内的任意一个x值，都有 f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就称为周期 函数，T称为这个函数的 周期 . (2)最小正周期 2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小

正周期.

要点一 例1

单位圆及其应用

根据下列三角函数值，作出角 α 的终边，然后求角 α 的

取值集合. 1 1 (1)sin α= ;(2)cos α= . 2 2

1 解 (1)已知角 α 的正弦值，可知 P 点纵坐标为2.所以在 y 轴上 1 取点 0,2 .过这点作

x 轴的平行线，交单位圆于 P1,P2 两点，

π 则 OP1,OP2 是角 α 的终边，因而角 α 的集合为{α|α=2kπ+ 或 6 5π α=2kπ+ ,k∈Z}. 6

1 1 (2)因为角 α 的余弦值为2,所以在 x 轴上取点 2,0 ,过该点作

x 轴的垂线，交单位圆于 P1、P2 两点，OP1,OP2 是所求角 α π 的终边，α 的取值集合为{α|α=2kπ±3,k∈Z}.

规律方法 有用处.

(1)确定已知角的终边，对于以后研究三角函数很

(2) 利用单位圆，可以非常直观方便地求出形如 sin x≥m或sin

x≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用.

跟踪演练 1 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范 围，并由此写出角 α 的集合： 3 1 (1)sin α≥ 2 ;(2)cos α≤-2. 3 解 (1)作直线 y= 2 交单位圆于 A、B 两点，连接

OA、OB, 则 OA 与 OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角 α 的终边的范 π 2 围，故满足条件的角 α 的集合为{α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ π,k∈ 3 3 Z}.

1 (2)作直线 x=-2交单位圆于 C、D 两点，连接 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角 α 终边的范围，故 满足条件的角 α 的集合为 2 4 α|2kπ+ π≤α≤2kπ+ π,k∈Z 3 3

要点二 利用周期求值 例2 求下列角的三角函数值.

19 31 (1)cos(-1 050° );(2)cos π;(3)sin(- π). 3 4 解 (1)∵-1 050° =-3×360° +30° , ∴-1 050° 的角与 30° 的角终边相同， 3 ∴cos(-1 050° )=cos 30° = ; 2

19 π 19 π (2)∵ π=3×2π+ ,∴角 π 与角 的终边相同， 3 3 3 3 19 π 1 ∴cos 3 π=cos3=2; 31 π (3)∵- 4 π=-4×2π+4, 31 π ∴角- π 与角 的终边相同， 4 4 31 π 2 ∴sin(- 4 π)=sin4= 2 .

规律方法 利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的 三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三 角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角 的三角函数值.

跟踪演练 2 求下列各式的值. 15 25 10 (1)sin - 4 π +cos π+cos(- π); 3 3

(2)sin 810° +cos 765° -sin 1 125° +cos 180° +sin(-2 010° ). 解 π π 2 π (1) 原式= sin -4π+4 + cos 8π+3 + cos -4π+3π = sin 4

π 2 +cos3+cos3π 2 1 1 2 = 2 +2+ -2 = 2 .