第四章理论力学(哈工大7版)第二册课件

理论力学(哈工大7版)第二册课件

第四章 机械振动基础

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机械振动的特点：围绕其平衡位置往复运动。 学习目的：利用有益的振动，减少有害的振动。 振动系统包括：单自由度系统、多自由度系统和连续体等。

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§ 4－1 单自由度系统的自由振动 1.自由振动微分方程

设弹簧原长为 l0 刚度系数为k

P m g 在重力 的作用下

弹簧的变形为 st

这一位置为平衡位置 称为静变形

st P / k

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取重物的平衡位置点O为坐标原点

取x 轴的正向铅直向下 则

F k k ( st x)

其运动微分方程为

d2 x m 2 P k ( st x) dt

st P / k

d2 x m 2 kx dt

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上式表明： 物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正 比而与偏离方向相反的合力 恢复力 只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动

2 0

d2 x m 2 kx dt

d x 2 0x 0 2 dt

－－无阻尼自由振动微分方程的标准形式

2

k m

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其解具有如下形式

其中r为待定常数 本征方程 本征方程的两个根为

x e rt

2 r 2 0 0

r1 i 0

r2 i 0

r1和 r2 是两个共轭虚根

微分方程的解为

x C1 cos 0t C2 sin 0t

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其中 C1 和 令：

C 2是积分常数，由运动的起始条件确定

A C C

2 1 2 2

C1 tan C2

x Asin( 0t )

无阻尼自由振动是简谐振动

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2.无阻尼自由振动的特点

（1）固有频率 若运动规律x( t ) 可以写为

x(t ) x(t T )

－－周期振动

T为常数－－周期

由式 x A sin( 0t )

[ 0 (t T ) ] ( 0t ) 2π

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自由振动的周期为 2π T 0 1 0 2 π 2 π f T 1 其中 f －－振动的频率，表示每秒钟的振动次数。 T 由式

2 0

k m

0

k m

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0

只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关 而与运动的初始条件无关

它是振动系统固有的特性

所以称为固有角（圆）频率（一般也称固有频率） m=P/g

k P / st

0

g

0

k m

st

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（2）振幅与初相角

x Asin( 0t ) A表示相对于振动中心点O的最大位移 －－振幅

( 0 t ) 表示质点在某瞬时t 的位置－－相位（或相位角）

而θ表示质点运动的起始位置－－初相角

x x0 0 设t= 0 时，

x Asin( 0t )

2 2 A x0 02 0

dx A 0 cos( 0 t ) dt

0 x0 tan 0

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3.弹簧的并联与串联

（1）弹簧并联

F1 k1 st

在平衡时有

F2 k 2 st

mg F1 F2 (k1 k 2 ) st

令

k eq k1 k 2

k eq－－等效弹簧刚度系数

mg keq st

st mg / keq

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固有频率

0

k eq

k1 k 2 m m

当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个 弹簧刚度系数的和。

这个结论也可以推广到多个弹簧并联

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