第二节 狄拉克函数

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δ函数 函数(Delta 1.2 δ函数(Delta Function)在物理和工程技术中， 在物理和工程技术中，常用于描述能量或质量在空间或 时间上高度集中的各种现象， 质点、点电荷、 时间上高度集中的各种现象， 如：质点、点电荷、点 光源，脉冲信号等 光源，脉冲信号等。 δ函数不是普通函数，不能完全由数值对应关系确定。它 函数不是普通函数，不能完全由数值对应关系确定。 函数不是普通函数 是一个广义函数，其属性完全由它在积分中的作用体现。 它在积分中的作用体现 是一个广义函数，其属性完全由它在积分中的作用体现。 1.2-1 δ函数定义 (definition of Delta Function) 函数定义 1.2-2 δ函数的性质 (Properties of Dirac Delta Function) 函数的性质 1.2-3 comb函数 函数(Comb Function) 函数

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1.2- δ函数定义 1.2-1 δ函数定义 (definition of Delta Function)

1. 类似普通函数形式的定义

2. 普通函数序列极限形式的定义

3. 广义函数形式的定义

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定义一： 定义一：类似普通函数形式的定义 例子： 例子：理想会聚透镜 平行光经L后成会聚光束，在 L后的平面P上得到一个清晰 的圆形亮斑。随着P向后焦面 趋近，亮斑直径越来越小，照 度A越来越大。 在P的后焦面的极限情况下，屏上的 照度A已无法用普通函数来描述,它 在焦点值为无穷,在焦点以外为零 在焦点以外为零， 在焦点值为无穷 在焦点以外为零A (x , y ) = 0 x ≠ 0, y ≠ 0 = 常量 通过透镜的全部光通

L

P

∫∫ A (x , y ) dxdy

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如果通过透镜的光通量是一个单位,则后焦面上的照度可以 用δ函数描写: 定义一

δ (x , y ) = 0

x ≠ 0, y ≠ 0 = 1

∫∫ δ ( x , y )dxdy

δ函数用来描写脉冲这样一类物理现象，单位能量的瞬间 电脉冲用时间为变量的(t)来描写。 空间变量的函数(x)可以描写下面这些物理量： 单位电量的点电荷的电荷密度；单位质量的质点密度；单位 光通量的点光源的面发光度等，也就是在这些脉冲所在内的 任意范围内的积分等于1。无限窄的脉冲只是一种理想情况.

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定义二： 定义二：普通函数序列极限形式的定义如果函数列fn(x)的表达式为:

3/a

fn(x)n=6

n 2a f n (x ) = 0

a x ≤ n 其它

5/2a

n=5

n=42/a

n是不为零的正数。当n逐渐变大时,fn(x) 不为零的范围逐渐变小,而在此范围内 fn(x)的值变大。 不论n为何值,图像的总面积均为1, 当n→∞时， fn(x)的极限是符合δ函 数的定义1的，故可用普通函数序列 的极限来定义δ函数

n=33/2a

n=21/a

n=1

1/2a

x0a/4 a/3 a/2

a

a/5 a/6

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定义二: 定义二 若存在函数序列 fn(x,y),它满足方程

lim f n ( x , y ) = 0n→ ∞ +∞

x ≠ 0, y ≠ 0 =1

∞

∫∫

f n ( x , y )dxdy

则:

lim f n ( x , y ) = δ ( x )n→ ∞

f

n(x,y)或fn(x)的具体形式可以是多种多样的.

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矩形函数: 高斯函数: sinc函数: 圆域函数:

δ ( x ) = lim Nrectn→ ∞

( Nx )

δ ( x ) = lim Nexp ( N 2 π x 2 )n→ ∞

δ ( x ) = lim Nsinc ( Nx )n→ ∞

δ ( x , y ) = lim

N

2

n→ ∞

π

circ ( Nj1 ( 2 π N

x2 + y2 )x2 + y2 )

贝塞尔函数:

δ ( x , y ) = lim Nn→ ∞

x2 + y2

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定义三： 定义三：广义函数形式的定义+∞

∞

∫ ∫ δ (x , y )φ (x , y )dxdy

= φ (0 , 0 )

φ ( x, y )称为检验函数， 它是连续的，在一个有限区间外 为0, 并具有所有阶的连续导数。总之， 函数不是普通函数 函数不是普通函数， 总之，δ函数不是普通函数，不象普通函数那样完全 由数值对应关系确定。它是一个广义函数 广义函数， 由数值对应关系确定。它是一个广义函数，其属性 完全由它在积分中的作用体现出来。 积分中的作用体现出来 完全由它在积分中的作用体现出来。

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1.2δ函数的性质 1.2-2 δ函数的性质 (Properties of Dirac Delta Function)1.筛选性质 1.筛选性质 (由广义形式的定义直接得到) 设φ ( x , y+∞

) 在(x 0 ,

y0

) 处连续，则有： 处连续，则有：

∞

∫ ∫ δ (x

x 0 , y y 0 )φ ( x , y )dxdy = φ ( x 0 , y 0 )

2.与普通函数的乘积 2.与普通函数的乘积 (由广义形式的定义直接得到) 设 φ (x , y

) 在 (x 0 ,

y0

) 处连续，则有： 处连续，则有：

φ ( x , y )δ ( x x 0 , y y 0 ) = φ ( x 0 , y 0 )δ ( x x 0 , y y 0 )

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3. 坐标缩放性质

1 δ (ax , by ) = δ (x , y ) ab4. 可分离变量性

δ (x , y ) = δ (x ) δ ( y )

5. 奇偶性

δ ( x , y ) = δ ( x , y )+∞

6. 可导性

∞

∫ δ ' (x a)φ (x)dx = φ ' (x) |

x=a

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1.2-3 comb函数 (Comb Function) 函数1D comb函数: comb ( x ) = :

n = ∞

∑ δ ( x n ),

∞

n 为整数Comb(x)

δ(x)

0

x

0

x

1D comb函数是间隔为1的无穷多个δ函数的和。 δ

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2D comb函数: :

comb ( x , y ) = comb ( x ) comb ( y ) =n = ∞ m = ∞

∑ ∑ δ ( x n , y m ),

∞

∞

n , m 为整数

comb函数的用途： (1)抽样，把连续函数变成离散函数。

f ( x ) comb ( x ) =(2)重复排列

n = ∞