第11讲·数学一轮课件·2008年全品高考复习方案

时间：2025-04-23

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第十一讲二次函数复习目标及教学建议基础知双能规训识基力律练要固提总点化升结

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复习目标及教学建议复习目标

掌握二次函数的解析式及其图象特征；掌握二次函数的单调性，二次函数在某区间上的最值的求解方法及规律，培养分类讨论的思维能力.

教学建议

二次函数是重要的初等函数之一，许多问题都需要化归为二次函数来处理，同时它又与二次方程、二次不等式有着密切的联系，因此既要熟练掌握好定义、图象特征及性质(特别是单调性),又要掌握“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)之间的相互联系及互相转化，复习时应围绕这两个重点展开.

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第十一讲二次函数2008高考复习方案

基础训练

1.已知二次函数f(x)满足：对x∈R, f(x)≤f(1)=3,且f(0)=2,则f(x)的表达式为( A ) A.f(x)=-x2+2x+2 B.f(x)=x2-2x+2 C.f(x)=-x2-2x+2D.f(x)=x2+2x+2 【解析】设f(x)=a(x-1)2+3(a<0), 又f(0)=a+3=2,∴a=-1 ∴f(x)=-(x-1)2+3=-x2+2x+2.

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2.设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下图之一：则a的取值为( B )



A. 1 C. 1 2

B.-1 D. 1 2

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点且开口向上，对称轴x=- 2 <0,显然所给图中没有一个满足，排除A. 若a=-1同理可知，图(3)满足.

【解析】(淘汰法)若a=1,则y=x2+bx的图象过原 b

3.函数f(x)=2+2x-x2,x∈[0,3]的值域是 ( B ) A.(-∞,3] B.[-1,3] C.[-2,3] D.(-3,+∞) 【解析】∵f(x)=-(x-1)2+3,x∈[0,3],∴f(x)max=3,f(x)min=-1.

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4.已知方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根

的充要条件是 a≤1 . 1 【解析】(1)当a=0时，原方程的解为x=- ;2 (2)当a≠0时，原方程有实根的充要条件是Δ =4-4a≥0,即a≤1.

设原方程ax2+2x+1=0(a≠0)的两根为x1,x2,则原方程至少有一个负实根的充要条件是

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a<0或0<a≤1.

∴a≤1是ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.

5.已知函数y=3x2-(2m+6)x+m+3取值恒为非负

数，则实数m的取值范围是 m∈[-3,0] .【解析】∵关于x的函数的二次项系数3>0, ∴满足条件Δ =(2m+6)2-4×3(m+3)≤0, 解之得-3≤m≤0.

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6.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3), 若x1<x2,x1+x2=1-a,则f(x1) <f(x2). 【解析】f(x)的对称轴为x=-1,又x1+x2=1-a,x1 x2 ∴ 2



1 a= 2

1 a ,0<a<3,∴ 2

>-1,

又∵x1<x2,∴x1离对称轴的距离小于x2离对称轴的距离，又a>0,所以f(x1)<f(x2).

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知识要点1.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2.二次函数图象特征 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对

称轴方程为x=-

b ,顶点坐标是(2a

当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下.

b 4ac b 2 , ); 2a 4a

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b b 3.二次函数的单调性及最值 (1)当a>0时，函数在(-∞,- 2 a)上递减，在[- b 2a b 4ac 2 , +∞)上递增，并且当x=- 时，[f(x)]min= 2a 4a b (2)当a<0时，函数在(-∞,- 2)上递增， a b b 在[- ,+∞)上递减，当x=时， 2 2a b 2a 4ac b [f(x)]min= =f(- ) 2a 4a 4.根与系数的关系 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当Δ=b2-4ac>0时图象与x 轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0),这里的x1,x2是方程 b

f(x)=0的两根，且

x1 x2 a , c x . 1 x2 a

|M1M2|=|x1-x2|=

|a|

.

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5.二次函数在闭区间上的最值若a>0,二次函数f(x)在闭区间[p,q]上的最大值为M,最小值为N. 1 令x0= (p+q). 2 ①若- 2ba <p,则M=f(q),N=f(p); b ②若- 2a >q,则M=f(p),N=f(q); b b ③若p≤- 2a≤x0,则M=f(q),N=f(- 2a ); b b ④若x0<- ≤q,则M=f(p),N=f(- )a 2a 2

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3.一元二次方程实根的分布一般地，方程f(x)=ax2+bx+c(a>0)的根x1,x2的分布所满足的充要条件如下表：根的分布x1<x2<k K<x1<x2

图像

充要条件 f (k ) 0 b k 2a 0

f (k ) 0 b k 2a 0

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第十一讲二次函数2008高考复习方案

根的分布x1<k<x2 K1<x1<x2<K2

图像

充要条件f(k)<0 f ( k1 ) 0 f (k ) 0 2 b k1 k2 2a 0

K1<x1<x2<K2 <K3