3.2立体几何中的向量方法5(综合问题)(1)

3.2 立体几何中的向量 方法 —综合问题

一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题； (化为向量问题) (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； (进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 (回到图形)

向量的有关知识：两向量数量积的定义：a· b=|a|· |b|· cos〈a,b〉

a b 两向量夹角公式：cos 〈a,b〉 = a b直线的方向向量：与直线平行的非零向量 平面的法向量：与平面垂直的向量

例1:如图3,甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。BD b , CD c , AB d . 解：如图， AC a , 化为向量问题 根据向量的加法法则 AB AC CD DB C D B

进行向量运算

2

A 图3

d AB ( AC CD DB )2

2

AC CD BD 2( AC CD AC DB CD DB ) a 2 c 2 b2 2 AC DB a 2 c 2 b2 2CA DB 于是，得 2CA DB a 2 b2 c 2 d 2

2

2

2

就是库底与水坝所成的二面角。 设向量 CA 与 DB 的夹角为 ,

因此

2abcos a 2 b 2 c 2 d 2 .

所以

a 2 b2 c 2 d 2 cos . 2ab

回到图形问题2 2 2 2 a b c d 库底与水坝所成二面角的余弦值为 . 2ab

解2:如图，

C

B

D

A图3

例1:如图3,甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考： (1)本题中如果夹角 可以测出，而AB未知， C D A 图3 B

其他条件不变，可以计算出AB的长吗？分析：由 AB ( AC CD DB )22

AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB )

2

2

2

a 2 c 2 b2 2abcos

∴ 可算出 AB 的长。

(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对

D1A1 B1 D C B

C1

角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值 吗？ 分析：如图，设以顶点 A 为端点的对角线2

A

长为 d ,三条棱长分别为 a , 各棱间夹角为 。 b, c,则 d A1C ( AB AC CC1 ) 22

a 2 c 2 b2 2(ab bc ac) cos d 2 a 2 b2 c 2 cos 2(ab bc ac)

(3)如果已知一个四棱柱的各棱长

都等于 a ,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ,那么可以确定这个四棱柱相邻两 D1 个面夹角的余弦值吗？ 分析： 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A A1E⊥AB 于点 E, 在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。则 A1 E CF a sin , AE BF a cos A1 B1 C B F C1

D E

cos cos EA1 , FC cos A1 E , CF A1 E CF | A1 E || CF |

( A1 A AE ) (CB BF ) a 2 sin2

a 2 cos a 2 cos cos( ) a 2 cos cos( ) a 2 cos2 a 2 sin2 cos 1 cos ∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。

例2、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质 量为500kg,在它的顶点处分别受力F1,F2,F3, 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都 是60°,且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多 F3 少时，才能提起这块钢板？分析:钢板所受重力的大 小为 500kg ,垂直向下作用在 三角形的中心 O ,如果能将各 顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用 向量形式表示，求出其合力，A 就能判断钢板的运动状态.

F1 F2 o

C

500kg

B

F2F3

F1 A

F1

F3 F2 O C

B500kg

F2 F3 F1

合力就是以 F1 、 F2 、 F3 为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)

解：如图，以点 A为原点，平面 ABC为xAy坐标

平面， AB方向为y轴正方向， AB 为y轴的单位长度 建立空间直角坐标系 Axyz, 则正三角形的顶点 3 1 坐标分别为A(0,0,0), B(0,1,0),C ( , ,0). 2 2 zF1O Ax 500kg

F3C

F2B

y

设力F1方向上的单位向量坐标 为( x, y, z ),

由于F1与 AB, AC的夹角均为 60 ,利用向量 1 的数量积运算，得 cos60 ( x, y, z ) (0,1,0), 2 1 cos60 2 z 3 1 F3 ( x, y , z ) ( , ,0), 2 2 F1

C

F2

1 1 解得x ,y . 12 2x

O A500kg

B

y

2 又因为x y z 1,因此z 32 2 2

1 1 2 所以F1 200( , , ) 12 2 3 类似地1 1 2 F2 200( , , ) 12 2 3 1 2 F3 200( ,0, ) 3 3x z

F1O A

F3C

F2B

500kg

y

它们的合力F1+F2 F3 1 1 2 1 1 2 1 2 200[( , , ) ( , , ) ( ,0, )] 12 2 3 12 2 3 3 3 200(0,0, 6 )这说明，作用在钢板上 的合力方向向上， 大小为200 6kg, 作用点为O. 所以钢板仍静止不动。x z

F1O A

F3C

F2B

由于200 6 500,

500kg

y

例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F。 (1)求证：PA∥平面EDB; (2)求证：PB ⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D的大小。P F E C B

DA