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直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法

综合法和分析法

综合法

分析法

定义

利用 已知条件 和某 从要证明的 结论出发 ， 些数 逐步寻求使它成立 充分条件 ，直至最 学 公理 、 定义 、 的 后，把要证明的结论归结 定理 等，经过一 系列的 推理论证 ， 为判定一个明显成立的条 件(已知条件、 最后推导出所要证明 定义、公理 等),这种证 的结论成立，这种证 定理、 明方法叫做综合法 明方法叫做分析法

综合法

分析法

框图 表示(P表示 已知条件 、已有的 定义、公理、定理 等， Q表示所要证明的结论 ) 特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法

[例 1] +b+c).

1 2 已知 a, b, c>0.求证： a +b +c ≥ (a +b2+c2)(a 33 3 3

[分析] 不等式中的a,b,c为对称的，所以 从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数 的均值定理，再根据不等式的性质推导出证 明的结论.

[证明] ∵a2+b2≥2ab,a>0,b>0, ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b). ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2. ∴a3+b3≥a2b+ab2. 同理：b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2. 将三式相加得： 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2, ∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c) +(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).1 2 ∴a +b +c ≥3(a +b2+c2)(a+b+c).3 3 3

[点评] 1.综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向.仔细分析 题目的已知条件 ( 包括隐含条件 ) ,分析已 知与结论之间的联系与区别，选择相关的 公理、定理、公式、结论，确定恰当的解 题方法. 第二步：转化条件，组织过程.把题目的 已知条件，转化成解题所需要的语言，主 要是文字、符号、图形三种语言之间的转 化.组织过程时要有严密的逻辑，简洁的 语言，清晰的思路.

第三步：适当调整，回顾反思.解题后回顾 解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一 些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法 的选取.

2.综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性 质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： ①a2≥0(a∈R). ②(a-b) ≥0(a、b∈R),其变形有 a +b2 ( a + b ) 2 ≥ab,a2+b2≥ 2 . 2 2 2

a+b ≥2ab, 2

a+b b a ③若 a、b∈(0,+∞),则 2 ≥ ab,特别是a+b≥2. ④a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a、b、c∈R).

3.综合法是一种由因索果的证明方法，其逻 辑依据也是三段论式的演绎推理方法.一般 问题都是用综合法解决的，要保证前提条件 正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的 正确性.

已知 a、b、c∈R 且 a+b+c

=1, 1 1 1 -1 · -1 ≥8. 求证： a-1 · b c

+

[证明]

1 1 1 ∵ a-1 b-1 c-1

(b+c)(a+c)(a+b) = abc 2 bc· 2 ac· 2 ab 8abc ≥ = =8, abc abc 当且仅当 a=b=c 时等号成立，∴不等式成立.

[例 2]

a b 已知 a>0,b>0,求证： + ≥ a+ b. b a

[分析] 要证明上述不等式成立，暂无条件 可用，这时可以从所要证明的结论出发，逐 步反推，寻找使当前命题成立的充分条件， 即用分析法证明. a b[证明] ∵a>0,b>0,要证 + ≥ a+ b成立， b a 只需证

a b 2 2 + ≥ ( a + b ) 成立， b a

a2 b2 即证 b + a +2 ab≥a+b+2 ab成立.

a3+b3 即证 ≥a+b. ab 也就是证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b)成立. 即 a2-2ab+b2≥0,也就是证(a-b)2≥0 成立. a b ∵(a-b) ≥0 恒成立，∴ + ≥ a+ b. b a2

[ 点评] (1) 分析法证明不等式的依据是不 等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论； (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不 等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件， 最后得到的充分条件是已知 ( 或已证 ) 的不 等式； (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当 地用好“要证”、“只需证”、“即证” 等词语.

当 a≥2 时，求证 a+1- a< a-1- a-2.[证明] 要证 a+1- a< a-1- a-2,

只需证 a+1+ a-2< a+ a-1, 只需证( a+1+ a-2)2<( a+ a-1)2, 只 需 证 a + 1 + a - 2 + 2 (a+1)(a-2) <a + a - 1 + 2 a(a-1),

只需证 (a+1)(a-2)< a(a-1), 只需证(a+1)(a-2)<a(a-1), 即证-2<0,而-2<0 显然成立， 所以 a+1- a< a-1- a-2成立.

[例3] △ABC的三个内角A、B、C成等差 数列，A、B、C的对边分别为a、b、c.1 1 3 求证： + = . a+b b+c a+b+c

[分析] 条件与结论跨越较大，不易下手， 可考虑用分析法证明；由于分析法是执果 索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分 析法的倒退过程就是综合法.

[证明]

分析法：

1 1 3 要证 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c 即证 + =3, a+b b+c c a 也就是 + =1, a+b b+c

只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证c2+a2=ac+b2, 又△ ABC 三内角 A 、 B 、 C 成等差数列，故 B =60°,

由余弦定理，有 b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac, 故c2+a2=ac+b2得证. 综合法： 证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列， ∴B=60°. 由余弦定理，有b2=c2+a2-2cacos60°, 得c2+a2=ac+b2, 等式两边同时加上ab+bc得 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),

c a 等式两边同除以(a+b)(b

+c)得， + =1, a+b b+c c a ∴ a+b+1 + b+c+1 =3,

1 1 3 即 + = . a+b b+c a+b+c

[点评] 综合法和分析法各有优缺点.从 寻找解题思路来看，综合法由因导果，往 往枝节横生，不容易奏效；分析法执果索 因，常常根底渐近，有希望成功，就表达 证明过程而论，综合法形式简洁，条理清 晰；分析法叙述繁琐，文辞见长.也就是 说分析法利于思考，综合法宜于表述.因 此，在实际解题时，常常把分析法和综合 法结合起来运用，先以分析法为主导求解 题思路，再用综合法有条理地表述解答或 证明过程.

求证：logn(n+1)>logn+1(n+2)(n≥2).[证明] 分析法： 要证 logn(n+1)>logn+1(n+2) 1 只需证明 >logn+1(n+2) logn+1n ∵logn+1n>0 ∴只需证 logn+1n· logn+1(n+2)<1. logn+1n+logn+1(n+2) 2 ∵logn+1n· logn+1(n+2)< 2 logn+1[n(n+2)] 2 = 2