四点共圆问题在几何解题中的应用

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四点共圆问题在几何解题中的应用

作者：李华平

来源：《读天下》2018年第18期

摘要：四点共圆问题在几何解题中具有广泛性和灵活性的特点，通常情况下，题目中不

会明确说明需要用到四点共圆的知识。因此解答这类问题时需要学生灵活地开动脑筋，这也是这一类问题备受各种竞赛和考试命题者青睐的原因。本文首先给出四点共圆的性质和判定定理，然后举例说明了不同情况下利用四点共圆来解题的思路。

关键词：四点共圆；几何问题；解题思路

一、四点共圆在几何证明中的一般解法

在几何证明题中，想要证明一个平面上四点共圆，首先是要找到需要证明的是哪四个点，然后将这四个点顺次连接，得出一个四边形，再根据这个四边形的特点和题目中给出的条件选择最优的解题思路；除此之外，对于一些常见的基本图形，要能做到见图知形，熟练地掌握这些基本图形的性质，这样在解题的时候才能做到游刃有余、得心应手。

二、两种经典四点共圆问题的解法

方法1：将要证明共圆的四个点连接成两个同侧的共底边的三角形，如果我们可以证明出这两个三角形的顶角相等，我们就可以肯定，这四个点是共圆的。这句话也可以理解为：如果一条线段同侧的两个点与这条线段连成的两个夹角相等，那么我们就可以说这两个点与这条线段的两个端点四点共圆。

【例1】在△ABC中，AB

分析：这道题没有明确指出这是一道与四点共圆有关的问题，需要学生自己去发掘题目的隐藏信息。通过观察图1我们可以发现，图中出现的三角形都位于线段的同一侧，而且题目中给出了两个相等的角，由此我们可以联想到四点共圆的判定定理3，在此推测的基础上，进行题目的解答，目标就会比较明确。

图1

证明：如图1所示，取AC的中点F，分别连接EF、DF（几何证明中常用的辅助线做法）。

∵E、F分别是BC和AC的中点，

∴EF为△ABC的中位线，