【数学】1.3.1 单调性与最大(小)值(人教A版必修1)

第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值

学习目标 1.通过对已学函数图象的观察,理解函数的单调性及其几何意 义.能根据图象的升降特征,划分函数的单调区间.理解增 (减)函数的定义,会证明函数在指定区间上的单调性. 2.通过对一些熟悉函数的观察，理解函数最大(小)值的定义, 并会利用单调性求其最值. 3.理解函数奇偶性的含义，体会此时函数图像的特征.会用奇

偶性的定义判断函数的奇偶性.

一、观察 函数是描述事物运动变化规律的数学模型 . 如果了解了函数 的变化规律,那么也就基本把握了相应事物的变化规律. 请您观察下列函数图象,说下对图象的认识.

一、观察 观察函数 f(x)=x 与 f(x)=x2 的图象是怎样变化的 , 它们有怎样 的升降规律?

不同的函数 ,其图象的变化趋势可能也不同 ,同一函数在不同 区间上的变化趋势也不一定相同. 函数图象的这种变化规律反映了函数的一个重要性质 --- 函 数的单调性

二、单调性的定义

f ( x) x

f ( x) x2

图形语言f ( x ) x在( , )上的图象上升

f ( x ) x在(0, )上的图象上升 符号语言 在(0, )上任意改变x的值, 都有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )

在( , )上任意改变x的值, 都有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )

函数值随着自变量的增大而增大

具有这种性质的函数叫做增函数.

二、单调性的定义观察图形语言

f ( x ) x在( ,0)上 的图象是下降的文字语言 函数值随着自变量的增大而减小 符号语言

在( , 0)上任意改变x的值, 都有x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )

具有这种性质的函数叫做减函数.

三、例题

y 3

2 例1 右图是定义在 闭区间[-5, 5]上 1 的函数y=f(x)的图 -5 -4 -3 -2 -1 O 象，根据图象说出 -1 y=f(x)的单调区间， -2 以及在每一单调区 -3 间上， y=f(x)是增函数还是减函数.解：

1

2

3

4

5 x

函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2), [-2, 1),[1, 3),[3, 5],其中y=f(x)在[-5,-2),[1, 3)上是减函数，

在区间[-2, 1),[3, 5]上是增函数.

三、例题

用定义证明函数增(减)函数的步骤 (1) 设x1 , x2 D, 且x1 x2

(2) 判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的符号(3) 结论 : 若f(x1 ) f ( x2 ), 则为增函数; 若f(x1 ) f ( x2 ), 则为减函数;

三、例题

( , 0) (0, )

在(0,+ )上单调递减 在( ,0)上单调递减

四、最大(小)值 请您观察下列图象,比较两个函数图象及其值域,您能发现什么?

设函数的定义域为I , 如果满足 :

(1)存在x0 I , 有f ( x0 ) M (2)对于任意的x I , 都有f ( x ) M则称M 是函数f ( x )的最小值.

函数f ( x ) x的图象没有最低点,因此没有最小值.

函数f ( x ) x 2

的图象上有一个最低点(0,0), 也就是说 最小值0

对任意的x R, 都有f ( x ) f (0),因此函数f ( x ) x 2有

四、最大(小)值 请您观察函数图象,说明最大值的含义函数f ( x ) x 2的图象上有一个最高点(0, 0), 也就是说 对任意的x R, 都有f ( x ) f (0), 因此函数f ( x ) x 2 有最大值0.设函数的定义域为I , 如果满足 :f ( x) x 2

(1)存在x0 I , 有f ( x0 ) M (2)对于任意的x I , 都有f ( x ) M则称M 是函数f ( x )的最大值.

四、最大(小)值

例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望 在它达到最高点(大约是在距地面高度时爆裂. 如果烟花距地 面的高度h m与时间t s之间的系式为：h(t)= 4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳 时刻?这时距地面的高度是多少？ 解:作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如右图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距 地面的高度. 对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:当t 14.7 1.5时，函数有最大值 2 ( 4.9)

4 ( 4.9) 18 14.7 2 h 29 4 ( 4.9)

于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳 时刻,这时距地面的高度为29 m.

利用函数单调性的求函数的最大(小)值2 例4.求函数 y 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x 1 2 解：因为函数 y x 1 是区间[2,6]上的减函数.2 所以,函数 y x 1 在区间[2,6]上的两个

端点上分别取得最大值和最小值，即 在点x=2时取最大值，最大值是2, 在x=6时取最小值，最小值为0.4 . 12

2 y x 1

6

练习

已知函数f ( x ) ax 2 2ax 2 b(a 0)在[2, 3]上有最 大值5和最小值2, 求a , b的值.解 : f ( x) a( x 1)2 2 b a(1)当a 0时, f ( x )在[2, 3]上是增函数 f (2) 2 4a 4a 2 b 2 则 a 1, b 0 f (3) 5 9a 6a 2 b 5

(2)当a 0时, f ( x )在[2, 3]上是减函数 f (2) 5 4a 4a 2 b 5 则 a 1, b 3 f (3) 2 9a 6a 2 b 2

五、小结1.函数单调性的定义 2、用定义证明函数的单调性(1) 设x1 , x2 D, 且x1 x2 (2) 判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的符号 (3) 结论 : 若f(x1 ) f ( x2 ), 则为增函数; 若f(x1 ) f ( x2 ), 则为减函数.

3、求函数最值的一般方法(1) 对于熟悉的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次 函数等,可以先画出在其定义域的图象求其最值.

(2) 对于不熟悉的函数可以先画出其图象,观察其单调性,再用 定义证明,然后利用单调性求其最值.