杭州电子科大,MATLAB经典教程。第七章_计算方法

matlab

第七章 计算方法插值与拟合 数值积分

matlab

基本概念插值：在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条 插值 连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函 数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处 的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 拟合：所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值 拟合 {f1,f2,…,fn},通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λn), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意 义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线 性回归(主要在统计中),否则叫作非线性拟合或者非线 性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作 样条拟合。

matlab

插值的内涵插值问题的提法是：假定区间[a,b]上的实值函数f( x)在该区间上 n+1个互不相同点x0,x1……xn 处的 值是f [x0],……f(xn),要求估算f(x)在[a,b] 中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函 数构成的有n+1个参数C0,C1,……Cn的函数类 Φ(C0,C1,……Cn)中求出满足条件P(xi)=f(xi) (i=0,1,…… n)的函数P(x),并以P()作为f()的估 值。此处f(x)称为被插值函数，c0,x1,……xn称 为插值结(节)点，Φ(C0,C1,……Cn)称为插值函数 类，上面等式称为插值条件，Φ(C0,……Cn)中满 足上式的函数称为插值函数，R(x)= f(x)-P(x )称为插值余项。当估算点属于包含x0,x1……xn的 最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插 。

matlab

插值基本类型多项式插值： 多项式插值：这是最常见的一种函数插值。在一般插 值问题中，若选取Φ为n次多项式类，由插值条件可以 唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。从几何上 看可以理解为：已知平面上n+1个不同点，要寻找一 条n次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般有两种 常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一 个是牛顿插值多项式。

matlab

埃尔米特插值： 埃尔米特插值： 对于函数f(x),常常不仅知道它在 一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。 这时的插值函数P(x),自然不仅要求在这些点等于 f(x)的函数值，而且要求P(x)的导数在这些点也等 于f(x)的导数值。这就是埃尔米特插值问题，也称带 导数的插值问题。从几何上看，这种插值要寻求的多 项式曲线不仅要通过平面上的已知点组，而且在这些 点(或者其中一部分)与原曲线“密切”,即它们有 相同的斜率。可见埃尔米特插值多项式比起一般多项 式插值有较高的光滑逼近要求。

matlab

分段插值与样条插值： 分段插值与样条插值：为了避免高次插值可能出现的 大幅度波动现象，在实

际应用中通常采用分段低次插 值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三 次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑 性较差。为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值 方法——三次样条插值成为比较理想的工具。 三角函数插值： 三角函数插值：当被插函数是以2π为周期的函数时， 通常用n阶三角多项式作为插值函数，并通过高斯三角 插值表出。

matlab

7.1 插值&拟合1)插值：包括内插、外插。 )插值：包括内插、外插。 插值： 插值： 插值是数值分析中通过已知的离散数据求未知 数据的过程或方法。 数据的过程或方法。 2)拟合 ) 科学和工程问题可以通过诸如采样、 科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方 法获得若干离散的数据，根据这些数据， 法获得若干离散的数据，根据这些数据，我们往往希 望得到一个连续的函数(也就是曲线)与已知数据相 望得到一个连续的函数(也就是曲线) 吻合。这个过程叫做拟合。 吻合。这个过程叫做拟合。 3)内插是曲线必须通过已知点的拟合。 )内插是曲线必须通过已知点的拟合。

matlab

7.1 插值&拟合下面2张图，何为插值何为拟合？ 张图，何为插值何为拟合？1 0.8

2000.6 0.4

1500.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

100

Y50 00 1 2 3 4 5 6 7

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

X

1)插值：数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据 )插值：数据假定是正确的， 点之间所发生的情况。 点之间所发生的情况。 2)拟合：设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据， )拟合：设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据， 光滑曲线 但不必要经过任何数据点。 但不必要经过任何数据点。

matlab

7.1 插值&拟合插值方法： 插值方法： 选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般 有：拉格朗日插值(lagrange插值)、分段线性插值及三 次样条插值等。 1) 拉格朗日(Lagrange)插值 ) 拉格朗日( ) 求作n次多项式，使满足条件pn ( xi ) = yi = f ( xi ), i = 0,1, 2, ,n

这就是Lagrange插值。 xi 点称为插值节点。用几何语言 插值。 点称为插值节点。 这就是 插值 来表述这类插值， 上给定的n+1个 来表述这类插值，就是通过曲线 y = f (x) 上给定的 个 求作一条n次代数曲线 点，求作一条 次代数曲线 y = pn (x) 作为 y = f (x) 的近 似。

matlab

7.1 插值&拟合1) 拉格朗日(Lagrange)插值 ) 拉格朗日( ) 对给定的n个插值节点 对给定的 个插值节点x1,x2,…xn以及对应的函数 个插值节点 以及对应的函数 插值多项式公式 …… 此处隐藏：2026字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……