高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀13

第12讲 三角函数

一、方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx²cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2

－

2

等。

（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a2 b2sin(θ+ )，这里辅助角 所在象限由a、b的符号确定，

角的值由tan =

ba

确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

四、例题分析 例1．已知tan

2，求（1）

1

sin

22

3 22；

cos sin cos sin

；（2）sin2 sin .cos 2cos2 的值.

解：（1）

cos sin cos sin

1 tan 1 cos

sin 1 tan 1 1

cos

2

2

2

(2) sin sin cos 2cos

sin

22

2

sin sin cos 2cos

sin cos

2

2

cos

cos 2sin

12

cos

sin

2

2 2 22 1

4 3

2

.

说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

例2．求函数y 1 sinx cosx (sinx cosx)2的值域。

解：设t sinx cosx

1232

y t t 1 (t )

24

x

π4

) [，则原函数可化为

，因为t [，所以

12

当t

时，ymax 3 t

34

时，ymin

34

，

3 。 所以，函数的值域为y [例3．已知函数f(x) 4sin2x 2sin2x 2，x R。

（1）求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合； （2）证明：函数f(x)的图像关于直线x

π8

对称。

解：f(x) 4sin2x 2sin2x 2 2sinx 2(1 2sin2x)

2sin2x 2cos2x x )

4π

(1)所以f(x)的最小正周期T π，因为x R， 所以，当2x

π4

2kπ

π2

，即x kπ

3π8

时，f(x

)最大值为；

π8

(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x 立，

因为f(

f(

π8π8

π8

x) x) x) f(

π8

π8π8 x) x)

π4π4

对称，只要证明对任意x R，有f(

π2π2

π8

x) f(

π8

)x

成

] ]

2x) 2x

，

2x) 2x，

π8

所以f( x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x 12

对称。

例4． 已知函数y=cos2x+

32

sinx²cosx+1 （x∈R）,

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）y=

12

cosx+

14

12

2

32

sinx²cosx+1=

34 6

14

(2cosx－1)+

6

2

14

+

34

（2sinx²cosx）+1

6

==

cos2x+sin(2x+

sin2x+)+

54

54

=

12

(cos2x²sin+sin2x²cos)+

54

6

所以y取最大值时，只需2x+=

2

+2kπ,（k∈Z），即 x=

6

6

+kπ,（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=（2）将函数y=sinx依次进行如下变换： （i）把函数y=sinx的图像向左平移

6

+kπ,k∈Z}

6

，得到函数y=sin(x+

1

)的图像；

6

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+

2

)的图像；

6

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=

2

112

sin(2x+)的图

像；

（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=

45

12

sin(2x+

6

)+

54

的图像。

综上得到y=

12

cos2x+

32

sinxcosx+1的图像。

说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般

有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=a2 b2sin (ωx+ )+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，

1

y=cos

2

x

2

3

sin

x cos

sinxcosx

2

1

x

+1=1 tan

3

tanx

2

x

+1

化简得：2(y－1)tan2x－3tanx+2y－3=0

∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤

43

74

∴ymax=

74

，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+

xcos

x

3cos

2

6

,k∈Z}

例5．已知函数f(x) sin （Ⅰ）将

x

333

f(x)写成Asin( …… 此处隐藏：4354字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……