第四节 轴向拉伸与压缩时的变形

第四节 轴向拉伸与压缩时的变形胡克定律一、纵向变形(一)绝对变形

d

la) d

杆件长度的伸长(缩短)量称为绝 l

对变形。

l l1 ll1

(4–1)

F l

(二)相对变形 单位长度的变形称为相对变形，也

b)

称为线应变。沿轴线方向单位长度的变

d

l1c)

F

形称为纵向相对变形或纵向线变形。

图4-8

l l

(4–2)

二、横向变形

(一)绝对变形杆件横向尺寸的缩小(增大)量称为横向绝对变 形，若以 △d 表示，则△d

=d1 –d

(二)相对变形 横向单位长度的变形称为横向相对变形或横向线应

应变，若以 表示，则

d d

(4–3)

三、泊松比 当应力不超过某一限度时，同一种材料的横向线应变与

纵向线应变之比的绝对值为一常数，即

(4–4)

式中， 为横向变形系数或泊松比，是一个量纲为1的量 通常由试验测得,工程上常用材料的泊松比列于下表。常用材料的 E , 值材料名称 低碳钢 合金钢 灰铸铁 铜合金 铝合金

E/GPa196~216 186~216 115~157 72.6~128 70

0.25~0.33 0.24~0.33 0.23~0.27 0.31~0.42 0.33

四、胡克定律 只要应力不超过某一极限值时，杆的轴向变形与轴向 载荷成正比、与杆的长度成反比、与杆的横截面面积成反 比。这一关系称为胡克定律，即Fl l ∝ A

引进比例常数E ,则有

l

Fl EA

由于轴向拉压时有F = FN ,故上式可改为

FN l l EA

(4–5)

式中，E 为材料的弹性模量，单位常用GPa 。对同一材料，

E 为常数。由式(4–5)可知，受力和长度相同的杆件，绝对变形 l 和EA 的乘积成反比，该乘积愈大，变形就愈小。它反映了杆

件抵抗拉伸(压缩)变形的能力，故 EA 称为杆的抗拉(压) 刚度。

FN l 将 、 代入式(4–5),便得 A l

E

(4–6)

式(4-6)是胡克定律的又一表达形式：当应力不超过某一 极限时，应力与应变成正比

例 一钢制阶梯杆受力如图4-9a所示，已知其横截面面积分别为ACD = 300mm2 ,AAB =ABC =500mm2 , 材料的弹性模量

E =200GPa 。试求：(1)杆的总变形。(2)杆的最大纵向线应变。A1

B30kN

C

2 2 100

D 10kN

解 (1)画轴力图 用截面法求得截面1-1和2-2上 的轴力分别为

1 100

100 a) 20kN

FN(+)

FN1 20kN FN 2 10kN画出杆的轴力图(图4-9b)x

(-)10kN

(2)计算各杆的变形 将阶梯杆分为AB、BC、和CD 段，

b)图4-9

应用胡克定律分别求出各段杆的变形

量为

AB 段 BC 段 CD 段

l AB

FN1l AB 20 103 100 2 mm 2 10 mm 3 EAAB 200 10 500

lBC lCD

FN 2lBC 10 103 100 2 1 10 mm 3 EABC 200 10 500

FN 2lCD 10 103 100 2 mm 1 . 6

7 10 mm 3 EACD 200 10 300

(3)计算杆的总变形

杆的总变形等于各段杆的变形量之和 l总 l AB lBC lCD (2 1 1.67) 10 2 mm 6.7 10 3 mm

整个杆件缩短了0.0067mm

(4) 计算杆的最大纵向线应变 max 由于各段的杆长相等，因此按式(4-2)可得

l AB 2 10 2 max 2 10 4 l AB 100