大学物理学(上、下)--赵近芳--习题解答 北邮版
时间：2025-04-24
运动的描述--习题解答
习题一
1-1 ｜ r｜与 r 有无不同?
drdrdvdv和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?dtdtdtdt
试举例说明．
解：（1）
r是位移的模， r是位矢的模的增量，即 r r2 r1， r r2 r1；
（2）
dsdrdr
是速度的模，即. v
dtdtdt
dr
只是速度在径向上的分量. dt
（式中r 叫做单位矢）∵有r rr，则
式中
drdrdr
r r
dtdtdt
dr
就是速度径向上的分量， dt
∴
drdr
与不同如题1-1图所示. dtdt
题1-1图
dvdv dv
(3)表示加速度的模，即a ，是加速度a在切向上的分量.
dtdtdt
∵有v v ( 表轨道节线方向单位矢），所以
dvdv d v dtdtdt
dv
就是加速度的切向分量. dt d dr与( 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) dtdt
式中
1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
drd2r出r＝x y，然后根据v =，及a＝2而求得结果；又有人先计算速度和加速度
dtdt
2
2
的分量，再合成求得结果，即
dx dy
= 及a=
dt dt
22
d2x d2y
dt2 dt2 你认为两种方法哪一种
22
正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r xi yj，
drdx dy v i j
dtdtdt
2 22
drdxdy
a 2 2i 2j
dtdtdt
故它们的模即为
dx dy
v v v
dt dt
2x
2y
2
2
22
dx dy 22
a ax ay dt2 dt2
2
2
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
dr
v
dt
d2ra 2
dt
drdrd2r
与2误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，其二，可能是将
dtdtdt
d2r
而只是速度在径向上的分量，同样，2也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
dt
2
d2r d
的一部分 a径 2 r 或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即 。
dtdt
量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速
度的贡献。
1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为
x=3t+5, y=
12
t+3t-4. 2
式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
12
解：（1） r (3t 5)i (t 3t 4)jm
2
(2)将t 1,t 2代入上式即有
r1 8i 0.5j m
r2 11j 4jm
r r2 r1 3j 4.5jm
(3)∵ r0 5j 4j,r4 17i 16j
rr4 r012i 20j
3i 5jm s 1 ∴ t4 04
dr
3i (t 3)jm s 1 (4) v dt
1
则 v4 3i 7j m s
(5)∵ v0 3i 3j,v4 3i 7j
vv4 v04 1jm s 2
t44
dv
1jm s 2 (6) a dt
这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以
v0(m²s 1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成 角，由图可知 l h s
将上式对时间t求导，得
2
2
2
2l
dlds
2s dtdt
题1-4图
根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， ∴ v绳 即 v船
dlds v0,v船 dtdt
vdsldll v0 0 dtsdtscos
lv0(h2 s2)1/2v0
或 v船 ss
将v船再对t求导，即得船的加速度
dlds
ldv v0s lv船
a 船 2v0 v0
2
dtss
2
l2
( s )v022
hv0
s2s3
s
1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为m s，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10m s,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵ a
1
2
2
dvdvdxdv
v dtdxdtdx
2
分离变量： d adx (2 6x)dx 两边积分得
12
v 2x 2x3 c 2
由题知，x 0时，v0 10,∴c 50
∴ v 2x3 x 25m s 1
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t m s，开始运动时，x＝5 m，v =0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置． 解：∵ a
2
dv
4 3t dt
分离变量，得 dv (4 3t)dt 积分，得
3
v 4t t2 c1
2
由题知，t 0,v0 0 ,∴c1 0
32t 2
dx3 4t t2 又因为 v dt2
32
分离变量， dx (4t t)dt
2
132
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