2015高考数学(理)一轮课件：11-2排列与组合

第2讲

排列与组合

知识梳理

1.排列与组合的概念名称 定义

排列 从n个不同元素 按照 一定的顺序 排成一列 中取出m(m≤n) 个不同元素 组合 合成一组

2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同排列 的 个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同组合 的 个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数.

3.排列数、组合数的公式及性质(1)Am n= 公

n(n-1)(n-2)…(n-m+1) =

n! n-m !

m n! n n-1 n-2 n-m+1 A n m = m! n-m ! m= 式 (2)Cn =Am m!

(n,m∈N*,且 m≤n).特别地 C0 n=1. 性 (1)0!= 1 ;An . n= n! 质n-m (2)Cm = C ;Cm n n n+1=-1 m Cn +Cm n .

辨析感悟1.排列与组合的基本概念、性质 (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. (×)

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. (√)m (3)若组合式 Cx = C n n ,则 x=m 成立.

(×)

2.排列与组合的应用2 (4)5 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 A5 - A 5 2

A4 4=72 种.

(√)

(5)(教材习题改编)由 0,1,2,3 这四个数字组成的四位数中，有 重复数字的四位数共有 3×43-A3 4=168(个). (×)

(6)(2013· 北京卷改编)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全 部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券 连号，那么不同的分法种数是 4A4 4=96 种. (√)

[感悟·提升]1.一个区别 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无 序”.取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果 与顺序无关即是组合，如(1)忽视了元素的顺序. 2.求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序 排列，无序组合；分类相加，分步相乘.”

考点一 排列应用题

【例1】 4个男同学，3个女同学站成一排.(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ (3) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排 法？

解

(1)3 个女同学是特殊元素，共有 A3 3种排法；由于 3 个女同

学必须排在一起，视排好的女同学为一整体，再与 4 个男同学排 队，应有 A5 5种排法.5 由分步乘法计数原理，有 A3 A 3 5=720 种不同排法.

(2)先将男生排好，共有 A4 4种排法，再在这 4 个男生的中间及两 头的 5 个空档中插入 3 个女生有 A3 5种方法.3 故符合条件的排法共有 A4 A 4 5=1 440 种不同排法.

(3)先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人，有 A4 4种排法；由于甲、 乙要相邻，故先把甲、乙排好，有 A2 2种排法；最后把甲、乙排 好的这

个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的空档及两边有 A2 5 种排法.2 2 总共有 A4 4A2A5=960 种不同排法.

规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分

析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于 分类过多的问题可以采用间接法. (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题 采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.

【训练1】 (1)(2014·济南质检)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 ________( 结果可 不化简). (2)(2013·四川卷改编)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个 不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数 是________.

解析

(1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这 3 家，所以

有(3!)4 种. a (2)由于 lg a-lg b=lgb(a>0,b>0), a a ∴lgb有多少个不同的值，只需看b不同值的个数. 1 3 3 9 a 2 从 1,3,5,7,9 中任取两个作为b有 A5种，又3与9相同，1与3相同， ∴lg a-lg b 的不同值的个数有 A2 5-2=18.

答案 (1)(3!)4 (2)18

考点二 组合应用题【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且 男、女生各指定一名队长.现从中选 5 人主持某种活动，依 下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选；

(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选.

解

(1)一名女生，四名男生.故共有 C1 C4 5· 8=350(种).

3 (2)将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C2 · C 2 11=

165(种). (3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长.故共4 2 3 5 5 有：C1 · C + C · C = 825( 种 ) 或采用排除法： C - C 2 11 2 11 13 11=825(种).

(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没 有女生.故选法为：3 1 4 5 C2 · C + C · C + C 5 8 5 8 8=966(种).

(5)分两类：第一类女队长当选：C4 12;第二类女队长不当选：3 2 2 3 1 4 C1 · C + C · C + C · C + C 4 7 4 7 4 7 4.

故选法共有：1 3 3 1 C4 C7+C2 C2 C7+C4 12+C4· 4· 7+C4· 4=790(种).

规律方法 组合问题常有以下两类题型变化

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”,则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “ 不含 ”,则先将这些 元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复 杂时，逆向思维，间接求解.

【训练2】 若从1,2,3, ,9这9个整数中同时取4个不同的数，

其和为偶数，则不同的取 …… 此处隐藏：812字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……