圆与方程章节中数形结合思想的应用

圆与方程章节中数形结合思想的应用

洪贵云

摘要：数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。本文从圆的方程教学出发，提炼了一些数形结合在圆的方程解题中的应用技巧，如常见的求轨迹、求距离、求最值等问题。如能熟练掌握这些方法并教给学生学会使用，必将取得事半功倍的效果。

（一）求范围

例1:设圆上(x 3)2 (y 5)2 r2有且仅有两点到直线4x 3y 2的距离等于1,则圆的半径r的取值范围是( )

A 4<r<6 B 4 r 6 C 4 r 6 D 4 r 6 分析: 方法一 圆心(3, 5)到直线4x 3y 2的距离为

15 24 ( 3)

2

2

5,

而到直线4x 3y 2的距离为1的轨迹为4x 3y 7或4x 3y 3

如图,当圆与直线4x 3y 7相交,与直线4x 3y 3相离时,圆上只有两点与直线4x 3y 2距离为1，所以4<r<6

方法二 根据四个选项知,只需判断当r=4或6时圆

(x 3)2 (y 5)2 r2与直线4x 3y 2的距离为1的点的个数,作出草图1.

3 2

7

图1

当r=4时,圆与直线4x 3y 7相切,只有一个点符合要求. 当r=6时,圆与直线4x 3y 3相切,与直线4x 3y 7相交,圆上有三个点符合要求,故4<r<6

故选A

归纳:（1）以形助数,借助图形的性质,使有关”数”的问题直观形象化,从而探索”数”的规律.比如:研究两曲线的位置关系,借助图形使方程.间关系具体化;过定点的直线系与某一确定的直线或圆相交时,求直线系斜率的范围;图形可帮助找到

斜率的边界取值,从而简化运算;对于一些求最值得问题,可构造出适合题意的图形,解题中把代数问题几何化；（2）以数助形,借助数式的推理,使有关”形”的问题数量化,从而准确揭示”形”的性质.

（二）不等式问题

例2:当P(m,n)为圆x2 (y 1)2 1上任意一点时,若不等式m n c 0恒成立,则c的取值范围是( )

A 1 2 c 2 1 B

2 1 c 2 1

C c 2 1 D c 2 1

分析:因为P(m,n)在已知圆x2 (y 1)2 1上,且使m n c 0恒成立,即说明圆在不等式m n c 0表示的区域中, 如图2中， c为直线x y c 0在y轴上的截距, 可求出切线l的截距为 (2 1),所以 c (2 1),即c 2 1

2

2

【变式训练】 不等式

a x 2x a(a 0分析：令y a2 x2，它表示以原点为圆心，a为半径的上半圆，包括端点；令y 2x a(a 0) ，它表示斜率为2，且y轴上的截距为a在的直线。由图3可知：不等式a2 x2 2x a(a 0)的解集为 {x0 x a} 。 （三）临界值的问题

例3:若直线ax y 2 0与连接点A( 2,3),B(3,2)的线段有交点,则a的取值范围是_____________

图4

分析:容易发现,直线ax y 2 0过定点P(0,2),因此要使直线与线段AB始终有交点,如图4,当直线绕P点在直线PA,PB之间旋转时,直线与连接点

A( 2,3),B(3,2)的线段有交点,而ax y 2 0的斜率为k a,当直线由PB开始

绕点P逆时针旋转时(不与y轴重合),到PA止,当直线与线段AB始终有交点,此时,斜率的变化为:当直线ax y 2 0的倾斜角为锐角时:k kPB而kPB

a

4,即3

44,所以a ,当直线ax y 2 0的倾斜角为钝角33

555

时:k kPA,而kPA ,即 a ,所以a

22245

故答案为:( , ] [, )

32

[变式训练] 已知圆c1:x2 y2 4和圆c2:x2 (y 8)2 4,直线y 两圆之间穿过,求实数b的取值范围. 分析：直线在①情况下，根据y

5

x b在2

5

x b与圆c1:x2 y2 4相切，点到直线的2

距离等于半径，即d

5

0 0 b2(

2

) ( 1)22

r 2得b 3，结合图形5，b即是直线

与y轴交点的纵坐标，本题中我们只需要b 3；直线在②情况下，根据

y

5

x b与圆c2:x2 (y 8)2 4相切，点到直线的距离等于半径，即2

0 8 b2(

2

) ( 1)22

d r 2得b 5或b 11，结合图形，我们只需要b 5，3和

5是两个临界点，结合图形，可知b的取值范围是(3,5)。

4

图6

图5

[变式训练]若实数x,y满足(x 2)2 y2 3，则

y

的取值范围为[ ,] 。 x

提示：问题可转化为如下几何问题：动点P在以(2,0)为圆心，以为半径的圆上移动，求直线OP的斜率的取值范围。由图6可知，直线OP的斜率的取值范围为[ ,]

（四）方程的根的问题

例5.

kx 2k 2有两个不同的实数根，求实数k的取值范围.

解析：方

程

kx 2k 2有两个不同的实数根，就是曲

线

y 与直线y kx 2k 2有两个不同的交点.

由y 得(x 1)2 y2 1(y

0)，所以曲线y 是以(1,0)为圆心，以1位半径的圆位于x轴上方的半圆；由y kx 2k 2得y 2 k(x 2)，所以它是过定点(2,2)斜率为k 的直线（如图）

.

连接PO，kPO 1，过点P作圆的切线PQ

1，得kPQ

3

，由4

图易知，过P点的直线位于PQ（不包括PQ）和PO（包含PO）之间时，与半

3

圆有两个交点，故得 k 1.

4

评析：本题若直接从方程的角度进行求解将非常复杂，

但从方程的形式及结

构特点，发现与直线和圆有关系，因此将方程问题转化为直线与圆的位置关系问题，显得既直观又简单.

数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，从上面所举的例子中，可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代 …… 此处隐藏：664字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……