2016高考数学大一轮复习 8.5空间向量及其运算教师用书 理 苏教版

§8.5 空间向量及其运算

1．空间向量的有关概念

(1)共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(a≠0)，a与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa. →→

推论 如图所示，点P在l上的充要条件是OP＝OA＋ta，①

→→→

其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB＝a，则①可化为OP＝OA→→→→＋tAB或OP＝(1－t)OA＋tOB. (2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p＝

xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共

→→→→→→→→→

线向量，推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点O，有OP＝OM＋xMA＋yMB或OP＝xOM→→

＋yOA＋zOB，其中x＋y＋z＝ 1 . (3)空间向量基本定理

如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底． 3．两个向量的数量积

(1)非零向量a，b的数量积a²b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)²b＝λ(a²b)．

②交换律：a²b＝b²a.

③分配律：a²(b＋c)＝a²b＋a²c. 4．空间向量的坐标表示及应用

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面．( √ )

(2)在向量的数量积运算中(a²b)²c＝a²(b²c)．( ³ ) (3)

对于非零向量b，由a²b＝b²c，则a＝c.( ³ )

(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ³ ) →→→→

(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.( √ ) (6)|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件．( ³ )

1．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若→

AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则BM＝ (用a，b，c表示)．

11

答案 －ab＋c

22

→→→→1→→解析 BM＝BB1＋B1M＝AA1AD－AB)

2111

＝cb－a)＝－a＋b＋c.

222

2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 ．(填序号)

→→→→→1→1→1→→→→→→→→

①OM＝2OA－OB－OC；②OM＝OA＋OB＋；③MA＋MB＋MC＝0；④OM＋OA＋OB＋OC＝0.

532答案 ③

→→→

→→→

解析 ∵MA＋MB＋MC＝0， →→→∴MA＝－MB－MC，

→→→

则MA、MB、MC为共面向量，即M、A、B、C四点共面． 3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是 ． 答案

2 3222 3242

，，－ 和 －， 102 10102 10

解析 因为与向量a共线的单位向量是±

a

，又因为向量(－3，－4,5)的模为|a|

152

(－3，

－3 ＋ －4 ＋5＝2，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±

2

(－3，－4,5)． 10

－4，5)→→→

4．如图，在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E→

为AD的中点，则OE＝ (用a，b，c表示)． 111答案 ＋b

244

→1→1→1→1→1→解析 OE＝OA＋＝OA＋＋

OC

22244111

＝a＋＋c. 244

题型一 空间向量的线性运算

例1 三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的→→→→→重心，用基向量OA，OB，OC表示MG，OG.

思维点拨 利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可． →→→1→2→解 MG＝MA＋AG＝＋AN

231→2→→

＝OA＋(ON－OA) 231→21→→→＝OA＋[(OB＋OC)－

OA

] 2321→1→1→＋OB＋.

633

→→→1→1→1→1→OG＝OM＋MG＝OA－OA＋OB＋

26331→1→1→

＝OA＋OB＋OC. 333

思维升华 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．

如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．设

E是棱DD1上的点，且DE1，试用AB，AD，AA1表示EO.

→→→2→1→2→1→→2→1→1→1解 EO＝ED＋DO＝D1D＋D1D＋DA＋AB)1A＋DA＝

32323222→

→2→

3

→→→→

ABAD－AA1.

题型二 共线定理、共面定理的应用

例2 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，

(1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)求证：BD∥平面EFGH；

→1→→→→

(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM(OA＋OB＋OC＋OD)．

4→→→→→

思维点拨 对于(1)，只要证出向量EG＝EF＋EH即可；对于(2)，只要证出BD与EH共线即可；→

对于(3)，易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量OM可由→→→→→→→→

向量OG和OE表示，再将OG与OE分别用向量OC，OD和向量OA，OB表示． 证明 (1)连结BG， →→→则EG＝EB＋BG →1→→＝EB＋BC＋BD)

2→→→→→＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH， 由共面向量定理的推论知：

1→2→23

E、F、G、H四点共面．

→→→(2)因为EH＝AH－AE

1→1→1→→1→＝AD－AB＝(AD－AB)BD，

2222

所以EH∥BD.

又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH.

(3)找一点O，并连结OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. →1→1由(2)知EH＝BD，同理FG＝，

22→→

所以EH＝FG，即EH綊FG， 所以四边形EFGH是平行四边形． 所以 …… 此处隐藏：7201字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……