西南交大高数第八章 多元函数微分法及其应用

第八章 多元函数微分法及其应用

§1极限与连续

1． 求下列极限： （1）lim

ln(x e)x

2

y

；

x 1y 0

y

2

解：初等函数在其定义域内连续。lim

2

xy 4xyxyxy 1 1

ln(x e)x

2

y

x

1y 0

y

2

=lim

x 1y 0

=ln2

（2）lim

x

0y 0

lim

x 0y 0

14

（3）lim

x

0y 0

lim

x 0y 0

xy 2 1 2

2

（4）lim

sin(xy)y

x 2y 0

=limx

x 2y 0

sin(xy)xy

（5）lim

x 0y 0

1 cos(x(x

2

2

2

y)

22xy

2

1

y)e

lim(x

x 0y 0

(x y)

2

222

1

2

y)e

2xy

2

lim

x 0y 0

(x y)e

xy

2

2

22

0

2．证明下列极限不存在 （1）lim

x 0y 0

x yx y

；

解令y kx则

lim

x 0y 0

x yx y

lim

x 0y 0

x kxx kx

2

2

1 k1 k

，不同的路径极限不同，故极限不存在。

（2）lim

x 0y 0

xyxy

2

2

2

(x y)

2

.

当y x时lim

x 0y 0

xy

2

2

2

2

xy (x y)

4x

4

4

2

1

当y 2x时lim

x 0y 0

4x x

lim4x

x 0y 0

4x

2

2

1

0，不同的路径极限不同，故极限不存在

3． 用定义证明：lim

x 0y 0

xyx

2

y

2

0.

解：由

0

，故对 0取

，当

0 ，故lim

x 0y 0

xyx

2

y

2

0

§2 偏导数

1． 求下列函数的偏导数： （1）z xsin(x y) cos2(xy)；

z x

sin(x y) xcos(x y) 2cos(xy)[ sin(xy)y] sin(x y) xcos(x y) ysin2xy

z y

xcos(x y) 2cos(xy)[ sin(xy)x] xcos(x y) xsin2xy

（2）z ln(xy)

1

解：z ln(xy) ，

2

z x

12

ln(xy)

12

(

1xy

)y

z y

12

ln(xy)

12

(

1xy

)x

（3）z lntan

xy

e

2x y

z x

1tan

xy

(sec

2

x11x2x y2x2x y) e 2 cotsec 2e yyyyy

z y

1tan

xy

(sec

2

xy

)(

xy

) e2

2x y

xy

2

cot

xy

sec

2

xy

e

2x y

（4）z (1 xy)y 解：关于x是幂函数故：

z x

y(1 xy)

y 1

y y(1 xy)

yln(1 xy)

2y 1

，

关于y是幂指函数，将其写成指数函数z e，故：

z y

e

yln(1 xy)

[ln(1 xy) y

11 xy

x] (1 xy)(ln(1 xy)

y

xy1 xy

)

（5）u ()z

y

x

关于x是幂函数故

u

xz 11zxz 1

z() ()， xyyyy u

xz 1xxzxz 1 uxzx

z()( 2) 2()，关于z是指数函数 ()ln。 yyyyy zyy

关于y是幂函数故

（6）u arctan(x y)z u x u y u z

11 [(x y)]

11 [(x y)]

11 [(x y)]

z2z2z2

z 1

(x y) z

z(x y)

z 1z2

1 [(x y)]

z(x y)

z 1

( 1)

z(x y)

z 1z2

1 [(x y)]

z

(x y)ln(x y)

z

(x y)ln(x y)1 [(x y)]

z2

2．填空

22 x y

z

（1）曲线 在点(2, 4, 5)处的切线与x轴正向所成的倾角为 4

y 4

x x

解：求曲线在点(2, 4, 5)处的切向量，将曲线参数化为 y 4，在x的切向量为

2

x 16 z 4

x

1,0, ，故曲线在点(2, 4, 5)处的切向量为 1,0,1 ，若记它与x轴正向所成的倾角为 ，

2

则cos

，故曲线在点(2, 4, 5)处的切线与x轴正向所成的倾角为

4

（2）设f(x,y) x (y 1)arcsin

xy

，则fx(x,1)=

法一：f(x,1) x (1 1)arcsin法二fx (x,y) 1 (y 1)

x，故fx (x,1)

dfx(x,1)dx

1

(1x 1y)

故fx (x,1) fx (x,y)|

x xy 1

1

（3）设z e

1x

1y

，则x2

z x

y

2

z y

= .

1x

1y

由

z x

( )

e

1x

2

，

z y

e

11 ( )xy

1y

2

，有x2

z x

y

2

z y

( )

2e

2z

3．设

22

xy

, (x, y) (0, 0)

f(x,y) (x2 y2)3

0, (x, y) (0, 0)

用定义证明：f(x,y)在(0, 0)处连续，且偏导数存在.

证明（1）用定义证明f(x,y)在(0, 0)处连续： 由0

xy

2

2

22

32

(x y)

(x y)(x y)

2

2

222

32

(x y)

2212

，

故limf(x,y) 0 f(0,0)，故f(x,y)在(0, 0)处连续

x 0y 0

（2）fx(0,0) limfy(0,0) lim

f(0 x,0) f(0,0)

x

x 0

lim

0 0 x

x 0

0

f(0,0 y) f(0,0)

y

2

2

y 0

lim

0 0 y

x 0

0

z z z

4．求下列函数的二阶偏导数2, 2和：

x y x y

2

（1）z arctan

xy

z x

1 x

1

y

2

1y

yx y

2

2

，

z y

1 x 1

y

2

(

xy

) 2

xx y

2

2

z x

2

2

x x

(

z

)

xx y

(

y

2

) …… 此处隐藏：9044字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……