热力学统计物理(第四版汪志诚)答案及习题解答

热统习题答案

第一章 热力学的基本规律

1.1 试求理想气体的体胀系数 ,压强系数 和等温压缩系数 。 解：已知理想气体的物态方程为

pV nRT, （1）

由此易得

1 V nR1

, （2）

V T ppVT

1 p nR1

, （3）

p T VpVT

T

1 V 1 nRT 1 . （4） V p T V p2 p

1.2 证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数 及等温压缩系数 ，根据下述积分求得：

lnV= αdT κTdp

如果 , T

1

T1

，试求物态方程。 p

解：以T,p为自变量，物质的物态方程为

V V T,p ,

其全微分为

V V

dV dT dp. （1）

T p p T

全式除以V，有

dV1 V 1 V dT dp. VV T pV p T

根据体胀系数 和等温压缩系数 T的定义，可将上式改写为

1

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dV

dT Tdp. （2） V

上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有

lnV dT Tdp . （3）

若 , T ，式（3）可表为

11

lnV dT dp . （4）

p T

1

T1p

选择图示的积分路线，从(T0,p0)积分到 T,p0 ，再积分到（T,p），相应地体

积由V0最终变到V，有

ln

VTp

=ln ln, V0T0p0

即

pVp0V0

， C（常量）

TT0

或

pV

1T

1p

（5） C. T

式（5）就是由所给 , T 求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。

2

热统习题答案

1.3 在0C和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为

5 1 7

今使铜块加热至10C。 4.85 10K和 T 7.8 10pn 1 .和 T可近似看作常量，

问：

（a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？

a）根据1.2题式（2），有

dV

dT Tdp. （1） V

上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dV，温度差dT和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dT的关系为

dp

dT. （2） T

在 和 T可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得

p2 p1

T2 T1 . （3） T

将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。 但是应当强调，只要初态 V,T1 和终态 V,T2 是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。

将所给数据代入，可得

4.85 10 5

p2 p1 10 622pn. 7

7.8 10

因此，将铜块由0C加热到10C，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn

（b）1.2题式（4）可改写为

V

T2 T1 T p2 p1 . （4） V1

将所给数据代入，有

3

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V

4.85 10 5 10 7.8 10 7 100V1 4.07 10 4.

因此，将铜块由0C加热至10C，压强由1pn增加100pn，铜块体积将增加原体积的4.07 10 4倍。

1.4 简单固体和液体的体胀系数 和等温压缩系数 T数值都很小，在一定温度范围内可以把 和 T看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为

V(T,p) V0 T0,0 1 T T0 Tp .

解: 以T,p为状态参量，物质的物态方程为

V V T,p .

根据习题1.2式（2），有

dV

dT Tdp. （1） V

将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在 和 T可以看作常量的情形下，有

ln

V

T T0 T p p0 , （2） V0

或

V T,p V T0,p0 e

T T0 T p p0

. （3）

考虑到 和 T的数值很小，将指数函数展开，准确到 和 T的线性项，有

V T,p V T0,p0 1 T T0 T p p0 . （4）

如果取p0 0，即有

V T,p V T0,0 1 T T0 Tp . （5）

1.5 描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力J，物态方程是

f J,L,T 0

实验通常在1pn下进行，其体积变化可以忽略。

线胀系数定义为

4

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1 L L T J

等温杨氏模量定义为

Y

L J A L T

其中A是金属丝的截面积，一般来说， 和Y是T的函数，对J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由 1降至 2时，其张力的增加为

J YA T2 T1

解：由物态方程

f J,L,T 0 （1）

知偏导数间存在以下关系：

L T J

1. （2） T J J L L T

所以，有

J L J

T L T J L T

A

（3） L Y

L

AY.

积分得

J YA T2 T1 . （4）

与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程 …… 此处隐藏：5459字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……