大学高等数学课件——9-2_二重积分的计算法

大学高等数学,经济版课件。

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一、利用直角坐标系计算二重积分如果积分区域为： a x b, [X-型]y 2 ( x )

1 ( x ) y 2 ( x ).y 2 ( x )

Dy 1 ( x )ab

Dy 1 ( x )ab

其中函数 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [a , b] 上连续.

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f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，以曲面 z D

f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积.z

z f ( x, y)

应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,

y

A( x0 )a 2 ( x )0

y 2 ( x)得

x

b

x

f ( x, y )d dx b a D

y 1 ( x)

1 ( x )

f ( x , y )dy.

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如果积分区域为： c y d , 1 ( y ) x 2 ( y ). [Y-型]d d

x 1 ( y )

D

x 2 ( y )

x 1 ( y )

D

c

c

x 2 ( y )

f ( x, y )d D

d

c

dy

2 ( y )

1 ( y )

f ( x , y )dx.

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X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式D3D1D2

D

.D1 D2 D3

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例1

改变积分 dx 1 0

1 x

0

f ( x , y )dy 的次序.

解 积分区域如图y 1 x

原式 dy 1 0

1 y

0

f ( x , y )dx .

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例2

改变积分2 x x2

0 dx 01

f ( x , y )dy 1 dx 02

2 x

f ( x , y )dy 的次序.

解 积分区域如图y 2 x

y 2x x2

原式

dy 0

1

2 y2

1 1 y

f ( x, y)dx

.

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例 3 改变积分 0 dx 的次序.

2a

2 ax 2 ax x 2

f ( x , y )dy (a 0)

解2a

y 2axy 2ax x 2 x a a 2 y 2a2a

a

原式 = dy 2 y 0

a

a a2 y2

f ( x , y )dx2a 2a

0 dy a

a

2a

2aa y2 2

f ( x , y )dx a dy y 2 f ( x , y)dx.2a

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D 例 4 求 ( x y )dxdy ,其中 是由抛物线2

y x 和 x y 所围平面闭区域.2 2

D

x y2

解

两曲线的交点

y x (0,0) , (1,1), 2 x y2

y x2

( x y )dxdy dx 2 ( x 2 y )dy 0 x2

1

x

D

1 33 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 1401 2 2

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求 e 练习1:D

x y

dxdy,

其中D是由x 1, x 2, y 0, y 1所围成的矩形.

eD

x y

dxdy e dx e dyx y 1 0

2

1

[e ] [e ]x 2 1

y 1 0

(e2 e1 )(e1 e0 )

e(e 1)2

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注： D {( x, y) | a x b, c y d},

即D是一矩形区域，则

f ( x, y)dxdy D

b

a

dx f ( x, y )dyc

d

dy f ( x, y)dxc a

d

b

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注： f ( x, y) f1(x) f 2 ( y)可积，

D {( x, y) | a x b, c y d}, 则

f ( x, y)dxdy [ D

b

a

f1 ( x)dx][ f 2 ( y )dy ]c

d

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求 3x y d

, 练习2:2 2

D

其中D是由x轴, y轴和抛物线y 1 x2所围成的

在第一象限内的区域.

3x y d = dx 2 20

1

1 x2

D

0

3x2 y 2 dy

[x y ]2 0 1 2 0

1

3 1 x2 0

dx

x (1 x ) dx2 3

16 315

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求 3x y d , 练习2:2 2

D

其中D是由x轴, y轴和抛物线y 1 x2所围成的

在第一象限内的区域.

3x y d = dy 2 20

1

1 y

03 2

3x y dx

2

2

D

y 2 (1 y ) dy0

1

比较麻烦；要仔细选择积分次序。

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sin y 练习3:求 y d , D 其中D是由y x和x y 2所围成的区域. sin y y d Dsin y dy 2 dx 0 y y 1 sin y ( y y 2 )dy 0 y1 y

(1,1)

1 sin1

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sin y 练习3:求 y d , D 其中D是由y x和x y 2所围成的区域.若先对y积分：

sin y y d D dx 0 1 x x

(1,1)

sin y dy y

比较麻烦