13第13章达朗贝尔原理

时间：2025-04-24

上海工程技术大学工程力学部刘立厚1

本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，

从而根据关于平衡的理论来列动力学方程。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。实质是：用静力学列平衡方程的方法来列动力学方程。动力学问题没有变。

第十三章

达朗贝尔原理

§13-1 达朗贝尔原理§13–2 刚体惯性力系的简化 §13–3 定轴转动刚体的轴承动反力静平衡与动平衡的概念 §13–4 达朗贝尔原理的应用

§13-1

惯性力的概念 · 质点的达朗贝尔原理人用手推车，车的加速度为 a 。小车所受到的力为：此时， F ma根据作用与反作用定律：

一、惯性力的概念

施力物体(人手)也受到一个力 F ': F ' F ma

F '是由于小车具有惯性，小车要保持原来

的运动状态，对于施力物体(人手)产生的

反抗力。称为小车的惯性力。4

惯性力

加速运动的质点，对施力物体的惯性反抗的总和。定义：质点惯性力

FI ma

F ' FI ma

[注] 1:质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施

力体反作用力的合力。

[注] 2: 惯性力的作用点在施力体上。质点惯性力在坐标轴上的投影：

FIx m ax m x FIy m ay m y FIz m az m z

FI m a FIn m an5

二、质点的达朗贝尔原理

非自由质点M,质量m,受主动力 F,约束力 FN 作用，质点的加速度 a 为：

F FN maFI ma 代入上式，得：质点的达朗贝尔原理

将 m a 移项，得： F FN ma 0

F FN FI 0

如果在质点上除了作用真实的主动力和约束力外，再假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理6

F FN FI 0该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的列方程的解题格式。

[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ,相对于车厢静止。求车厢的加速度 a 。

解： 1、研究对象：摆锤 M m g, F 2、受力分析： 3、运动分析：车作平动 a 惯性力

FI ma

方向如图所示

FI M

4、由动静法, 有：

0 , mg sin FI cos 0

解得 a g tg

角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时，角也不变。只要测出角，就能知道列

车的加速度 a 。摆式加速计的原理。9

§13-2 质点系的达朗贝尔原理设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 Fi Fi FIi 0 ( i 1,2,...... ,n ) 质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束力和它的惯性力形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。用方程表示为： Fi FNi FIi 0 M O (Fi ) M O ( FNi ) M O ( FIi ) 0

注意到 Fi (i ) 0 , M O ( Fi (i ) ) 0 , 将质点系受力按内力、外力 (e) 划分, 则 Fi FIi 0 (e) M O ( Fi ) M O ( FIi ) 010

表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。

FIi mi ai MaC

d M O (m v ) dLO i i M O ( FIi ) M O (mi ai ) dt dt

用动静法求解动力学问题时，对平面任意力系：

Fxi FIix 0 ,(e)

Fyi FIiy 0 , (e) M O ( Fi ) M O ( FIi ) 0 .(e)

对于空间任意力系：

(e) ) M x ( FIi ) 0 Fxi FIix 0 , M x ( F i (e) (e) Fyi FIiy 0 , M y ( Fi ) M y ( FIi ) 0 (e) (e) Fzi FIiz 0 , M z ( Fi ) M z ( FIi ) 0(e)

实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方程求解。12

转动。设轮缘较 [例2] 飞轮质量为m,半径为R,以匀角速度薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。

FA 解：AB段轮辐微段上的惯性力 F Ii m d 2 n R Rd FIi mi ai 2 R 由 Fx 0,即FA 0 90 2