控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)

控制系统的数学模型1：包含微分方程,拉氏变换,传递函数

第二章 控制系统的数学模型导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读

控制系统的数学模型1：包含微分方程,拉氏变换,传递函数

预备知识 复变函数：Laplace变换(拉氏变换), Z变换 常微分方程解法：Laplace变换和反变换 电路理论 基本的电子学和力学知识

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第二章 自动控制系统的数学模型2.1 系统的微分方程：时域模型，微分方程的建立及线性化。

2.1 拉普拉斯变换：将微分方程变换成代数方程，是经典控制理论的基础。

2.3 传递函数：借助拉氏变换，给出系统传递函数。经典控制理论中引用最广泛的一种模型。

2.4 控制系统方框图：掌握方块图的建立及化简,6种典型环节

2.5方框图的等效变换及化简

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定义：数学模型是描述系统内部物理量(或变量)之间关

系的数学表达式。 建立数学模型的目的 是分析和设计控制系统的首要工作(或基础工作)。

自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。通过数学模型 来研究自控系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研 究其内在的共性运动规律。

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建立合理的数学模型建立的数学模型既有准确性，又有简化性–一般应根据系统的实际结构参数及要求的计算精度， 略去一些次要因素，使模型既能准确反映系统的 动态 本质，又能简化分析计算的工作。 –除非系统含有强非线性或参数随时间变化较大，一般

尽可能采用线性定常数学模型描述自动控制系统

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2.1 系统的微分方程 被控对象的描述：微分方程输入u(t)

被控 对象

输出y(t)

微分方程及其解法的理论是整个控制 理论的基础。

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2.1.1. 建立系统或元件微分方程的步骤I. 确定元件输入量和输出量 程 III.在可能条件下，对各元件的原始方程进行 适当简化，略去一些次要因素或进行线性 II. 根据物理或化学定律，列出元件的原始方确定输入 输出量 列写相应微 分方程消去 中间 变 量

化处理IV. 消去中间变量，得到描述元件输入和输出 关系的微分方程 V. 对微分方程进行标准化处理：与输出量相 关的各项置于等号左侧，而与输入量相关 的置于等号右边；等号左右各项均按降幂 排列；将各项系数归化为具有一定物理意

标准形式

整理

微分方程

图2-1 建立系统或元件微分方程 的 步骤

义的形式

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机械系统微分方程例1:弹簧-质量-阻尼器串联系统，如图2-1所示。 列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移x(t)为输 出量的运动方程式。

F(t)

K

m f

x(t)

图 2 1 机 械 系 统

-

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解：按照列写微分方程式的一般步骤有： 1)确定输入量、输出量，作用于质量m的力还

有弹 性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t) ,均作为中间变量； 2)假设当无外力作用时，系统处于平衡状态；

F(t) m f

K x(t)

图 2 2 机 械 系 统

d 2x 3)由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4)写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5)将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6)整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )

该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。

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机械旋转系统 [例2]:设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。

M

J

θ

f

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解：1)确定输入量、输出量M J θ f

2)对于机械转动系统，牛顿定律可以表示为：J (t ) M (t )

3)化简 4) 标准化

J

d 2 (t ) dt 2

d (t ) M (t ) M f (t ) M (t ) f dt

d 2 (t ) d (t ) J f M (t ) 2 dt dt

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电气系统的微分方程例3: RC电路R

(1) 确定输入量和输出量 微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的 输入量： u r 一些常数。 u 输出量：c

+

+ C

ur-

i

uc-

(2) 建立初始微分方程组 duc RC dt + uc= ur 根据基尔霍夫定律得：

ur= Ri + uc duc i = C dt (3) 消除中间变量，使式子标准化 RC电路是一阶常系数线性微分方程。

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