第一学期数学分析期末考试试题库

数学分析期末考试

第一学期试题库

一、判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））：

1、设

f(x)在[a,b]上连续，M与m分别是f(x)的最大值和最小

c(m c M)，均存在 [a,b]，使得

值，则对于任何数

f( ) c。

（ ）

2、2、设f(x),g(x)在

(a,b)内可导，且f(x) g(x)，则

f'(x) g'(x)。

（ ）

3、3、设

{xn}的极限存在，{yn}的极限不存在，则{xn yn}的极

限未必不存在。

（ ） 4、4、如

x x0是函数f(x)的一个极点，则f'(x0) 0。

（ ）

x cosx(x cosx)'

lim lim(1 sinx)x x xx'5、对于函数，由于不存在，根据洛x cosx

x必达法制，当x趋于无穷大时，的极限不存在。

（ ）

6、无界数列必发散； （ ） 7、若对 >0，函数f在[a ,b ]上连续，则f在开区间（a,b）内连续； （ ） 8、初等函数在有定义的点是可导的； （ ）

xxx9、f ，若函数 在点0可导， 在点0不可导，则函数f在点0

必（ ）

不

可

导

；

10、设函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，但

f(x) f(b)，

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'

x (a,b)f则对，有(x) 0； （ ）

二、填空题：

1. 1. 设E {x [x]|x R},则supE , infE ;

f (5) 2,则lim

2. 2. 设

x 5

f(x) f(5)

x ；

3. 3. 设

sinax,

f(x)

ln(1 x) b,

x 0,x 0

在

x 0处可导，则a ，

b 。 lim

4、

n

(n2 2)6(2n 1)8

(2n2 1)10

＝ ；

5、曲线y xlnx的所有切线中，与直线x 2y 2 0垂直的切线是 ；

dy 2

y ln(x x)dx6、， ；

d2y

f(x)2f(x)y e7、函数二阶可导，， 则dx ；

x

f(x) e8、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ，

2

f(x) ；

三、计算题：

1、计算下列极限：

sinx sinalimx ax a（1）

2、计算下列导数： （1）f(x)

；（2）

lim(1 2x)

x 0

1

x

x2 1 ln(x x2 1),求f (x);

x acos3t

求由方程 表示的函数的二阶导数3

y asint （2）；

x2y2

2 1过其上点(x0,y0)2

b 3、求椭圆a处的切线方程；

4、将边长为a的正方形铁皮，在其四个角上各切掉一个大小相等的小正方形，

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然后折起做成一个无盖的铁盒.问铁盒上切掉多大的小正方形，使得做成的铁盒容积最大？

(x 3)2

f(x)

4(x 1)的图像. 5、描绘函数

6、计算下列极限：

n （1

）

7、计算下列导数：（10分） （1）

lnx lna

(a 0)

x ax a（2）.

lim

y

sinx xcosx

cosx xsinx， 求dy；

f(x0) 0, f'(x0) 3, 求limf(x0 2 x)

x 0 x （2）；

x a(t sint) t

2处的切线方程； 8、求摆线 y a(1 cost)在

tanax

,

f(x) x

x 2, 9、设函数

3

2

x 0

x 0在点x 0处连续，求a的值；

10、求函数f(x) 2x 12x 4在[ 1,7]上的最大值与最小值. 四、证明题：

{x}x 0,1、设a 0，n满足：0

xn 1

1a

(xn ),2xn

n 0,1,2 ,

limxn。{x}n证明：收敛，并求n .

2

、

设

a1,a2, an

为实常数，证明：

f(x) a1cosx a2cos2x ancosnx

在(0, )内必有零点。

3、设函数f(x)在区间Ⅰ上满足Lipschitz条件： L>0， x1,x2 Ⅰ，

有

f(x1) f(x2) Lx1 x2

，证明f在区间Ⅰ上一致连续；

4、设0<a<b，f(x)在[a,b]上可导，在（a,b）内可导，证明 (a,b)，使

22'

2 f(b) f(a) (b a)f( ). 得