向量内积和外积的四元数教学法

向量内积和外积的四元数教学法

作者：程晓芸

来源：《科技创新导报》2011年第01期

摘 要:利用四元数代数来解释内积和外积，并证明了关于内积外积的几个经典定理和等式，使学生更容易接受和理解这两个常见概念。

关键词:四元数代数内积外积

中图分类号:G623 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)01(a)-0144-01

两个向量之间的内积和外积是高等代数和解析几何中必须要讲的内容，参见文献[1～3]。内积在有的课本上也被称为点积，外积则常常被称为是叉积。在教学中，我们发现学生很容易理解两个向量的内积。这是因为内积定义为两个向量的对应坐标相乘再相加，得到的结果是一个实数，比较自然。而两个向量的外积却不再是一个实数了，而是一个和这两个向量都垂直的向量.这样子进行教学，学生会觉得内积和外积差别很大，内积是数，而外积是向量，二者不具可比性。而单纯从名字来看，“内”和“外”是对称的，是可对比的。那么应该怎样去教学，才能让学生真正的理解内积和外积的这种“对称”呢？

我们发现利用四元数代数来讲解内积和外积是一种很好的教学法。我们用R表示实数集合,C表示复数集合，H表示四元数集合。由[2]可知任何一个四元数都可以写成α=d+ai+bj+ck的形式，其中a,b,c,d都是实数。d叫做α的实部，ai+bj+ck叫做α的虚部。α的共轭定义为d-ai-bj-ck。

则四元数集合H=R+Ri+Rj+Rk，H中的运算法则是哈密顿给出的

i2=j2=k2=ijk=-1。

从哈密顿的公式可以推出

ij=-ji=k,

jk=-kj=i,

ki=-ik=j。

三维空间中的一个向量都可以写成α=ai+bj+ck的形式，其中a,b,c分别是x,y,z轴的坐标，I,j,I分别表示x,y,z轴。

我们定义两个向量α,β的内积为,

α·β=-(βα+αβ)/2

类似的，我们还可以定义两个向量的外积为，

α×β=-(βα-αβ)/2

根据定义易得α×β=-β×α

我们不难通过检查坐标的方式来验证上面关于内积和外积的定义和参考文献[1]中的一致。通过这种方式来定义内积和外积，学生可以看出内积和外积的差别只不过是βα+αβ和βα-αβ，很容易接受，也很容易理解。

下面我们来看看怎样利用四元数来证明关于内积外积的一些经典的定理，公式。 定理1:[拉格朗日公式]。对任意的向量 α,β,γ,有

α×(β×γ)=(α·γ)β-(α·β)γ

证明：注意到一个实数乘以一个向量，跟这个向量乘以这个实数是相等的,所以 右边=(β(α·γ)-γ(α·β)+(α·γ)β-(α·β)γ)/2

=-(βαγ+βγα-γαβ-γβα+αγβ+γαβ-αβγ-βαγ)/4

=-(βγα-γβα+αγβ-αβγ)/4

=(1/2)(α((1/2)(βγ-γβ))+((1/2)(βγ-γβ))α)

=左边,证毕。

这个公式在[1]中是通过分别比较等式两边的x,y,z轴的坐标来完成的。我们这个证明的好处是不涉及坐标,非常简单。

定理2:[雅可比等式]。

α×(β×γ)+β×(γ×α)+γ×(α×β)=0

证明：这就是要证明(αβγ-αγβ-βγα+γβα)+(βγα-βαγ-γαβ+αγβ)+(γαβ-γβα-αβγ+βαγ)=0

这总共有十二项,三个向量的排列只有六种，再加上正负号，正好是十二项,所以两两抵消掉了，正好是零,证毕。

如果记[x,y]=xy-yx,则上面的雅可比等式就是