52统计量及其分布

52统计量及其分布

§5.2统计量及其分布

上一节中知道子样是母体的反映，但是子样所含作息不能直接用于解决我们所要研究的问题，而需要把子样所含的信息进行数学上的加工使其浓缩起来，从而解决我们的问题。这在数理统计学中往往通过构造一个合适的依赖于子样的函数—统计量—来达到的。

定义5.1 一个统计量是子样的一个函数，如果子样容量为n，它也就是n个随机变量

的函数，并且要求这个函数是不依赖于任何未知参数的随机变量。统计量的分布称为抽样分布。

按照这一定义，随机变量 = i是一个统计量，前一节中提到的经验分布函数Fn（x）

i 1

也是一个统计量，但当 n、 2未知时， i=

i

就不是一个统计量，这是 1，

2，…， n

是一个子样，必须指出的是，尽管一个统计量不依赖于任何未知参数，但

是它的分布可能是依赖于未知参数的。

下面我们定义一些常用的统计量。

定义5.2 设 1， 2，…，

n

是由母体 取出的容量为n的子样，统计量

n

=

称做子样均值；统计量

i 1

i

n

（5.3）

S=

称做子样的方差；统计量

2

n

1n

n

i 1

( i )=

2

1n

n

2

i （5.4）i 1

2

=

称做子样的k阶矩；统计量

k

1n

n

i 1

k

i

（5.5）

mk=

称做子样的k阶中心矩；统计量

若（x1，x

2

1

n

i

(

n

i 1

) （5.6）

k

，… ，xn）是子样 1， 2，…，

1

n

n

的一组观测值，则

x= xi

n

i 1

（5.7）

和

52统计量及其分布

S=

分别为子样均值方差Sn的观测值。

2

2n

1

n

n

(xi x)=

2

1

n

2

i

i 1

xn

i 1

x （5.8）

2

统计量是子样的函数，它的抽样分布函数可以从子样的联合分布函数推出，设 1，

2，…， n

个子样，那么

和 1， 2，…， m是取自正态母体N（0,1）的容量分别为n和m的两

m

n

2

= i， t=

i 1

1

2

， F=n

n i

i 1n

2

2

m i

i 1

都是统计量。根据前面§3.4，它们的抽样分布分别为 2（n）分布、t(n)分布、F（m，n）分布。这些抽样分布今后在分设检验和区间估计中不止一次地要用到。

由于子样均值 与子样方差Sn这两个统计量在数理统计学中的重要作用，我们将详细地推导它们的分布，先给出它们不依赖于母体分布具体形式的两个性质。

2

定理5.1 设母体 的分布函数F（x）具有二阶矩，即E = < 。若 1，

2，…， n

是取自这一母体的一个子样，则子样均值 的数学期望与方差分别为

（5.9）

E =

D =

若假设母体的原点矩 k= E

k

2

n

（5.10）

k

和中心矩 k= E( 1)，k=1，2，3，4都

存在，则子样方差的数学期望和方差依次为

E（S

D（Sn）=

2

2

n

n 1

）=

n

2

2

4 2

n

2

2

-

2( 4 2 2)

nn 1n

2

2

+

4 3 2

n

3

2

（5.10a）

并且子样均值与子样方差的协方差为

Cov( ,S)=

2

n 2

52统计量及其分布

一个随机向量

'= n 2，（ 1，…，

）经过一个线性变换得到一个随机向量 '=

（ 1， 2， 3，…， n），这两个随机向量的数学期望和相关矩陈之间的关系由下列定理给出。

定理5.2 设 '=（ 1， 2，…，

两个随机向量，且设

n

），

'= （ 1， 2， 3，…， n）为

=A

，其中A=（aij）为一个n n阶方阵，则有

E =A（E ）

D =A（D ）A' （5.11） 定理5.3 设母体 服从正态分布N（ ，

现在我们来推导子样方差的分布。

2

n

）。（证明略）

定理5.4 设 1， 2，…，

均值与子样方差分别为

n

是正态母体N（ ，

2

n

）的一个子样，其子样

=

则

（1） 与Sn相互独立； （2）

n

2

1n

n

i 和 Sn=

i 1

2

1n

n

i 1

( i )

2

2

Sn服从自由度为n-1的 ―分布。（证明略）

为取自正态母体N（ ， ）的一个子样， 与Sn

2

22

系1 设 1， 2，…，

分别为子样均值与子样方差，则

2

n

( )n 1

Sn

（5.18）

是自由度为n-1的t―分布。（证明略）

系2 设 1， 2，…，

1）和N（ ，

2

22

n

和 1， 2， 3，…， n分别是从正态母体N（ ，

n1

）抽取的两个子样，且 1， 2，…，

和 1， 2， 3，…，

52统计量及其分布

并设 n2相互独立，

1n1

S

2

1n1

n1

1

=

n1

n1

( i )与S22n2=

i 1

2

1n2

n2

( i )分别为这两个子样的

i 1

2

子样方差。 =

i 1

i

与 2

=

1n2

n2

i 1

i

分别为这两个 …… 此处隐藏：308字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……