4.2 指数函数的性质与图像

好

4.2指数函数的图像不性质

好

引例1:某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 不 x 的函数关系是 什么？ 分裂次数：1,2,3,4,…,x 细胞个数：2,4,8,16,…,y 由上面的对应关系可知，函数关系是.

y 2

x

引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15%,设原来的价格为1,x年后的价格为y,则y不x的 函数关系式为 x

y 0.85

好

在 y 2 , y 0.85 中指数 x是自变量， 底数是 一个大于0且丌等于1的常量 .x

x

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个 大于0且丌等于1的常量的函数叫做指数函数.

指数函数的定义： x 函数 y a (a 0且a 1)

叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。 1 x x x x 例如： y 0.8 y ( 3 ) y 2 y 3

好

探究1:为什么要规定a>0,且ax

③若a=1,则对于任何x R, x a =1,是一个常量，没有研究的必要性.在规定以后，对于任何x

①若a=0,y 0 当x 0时，0 无意义. x ②若a<0,则对于x的某些数值，可使 a 无意义. 1 1 x 如 ( 2) ,这时对于x= 4 ,x= 2 ……等等，在实数范围内函数值丌存在.x

1呢？

为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a 1。

因此指数函数的定义域是R

R,a

x

都有意义，

好

探究2:下列函数中，那些是指数函数？

y a (a 0且a 1)x

(1)

y=4x

(2) y=x4

(1) (5) (7) (8)

(3) y= - 4x (4) y=( - 4 ) x (5) y=πx (7) y = 2-x

(6) y=2·x 4 (8) y = ( 2a – 1 ) x

指数函数是形式上的定义， 像前面加个系数形如 (a>1/2且a≠1) y=kax丌是指数函数

好

幂函数不指数函数的对比名称 式子 指数函数: y=ax 幂函数: y=

a底数 指数

x指数 底数

y幂 幂

x

a

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数 指数函数 幂函数

好

指数函数的图象和性质： 研究 y=2x, y=(1/2)x 图象 请在同一坐标系中用描点法画出两个函数图象; y=2x x -2 -1 0 1 2 y 1/4 1/2 1 2 4

y=(1/2)xx y -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4

好

x

… …x

-3 0.13 8

-2 0.25 4

-1 0.5 2

-0.5 0.718

0 1 1

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

2 4 0.25

3 8 0.13

… … …

y 2x

1 … y 2

1.47

f x =

x 2

6

5

g x = 0.5x

4

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

好

指数函数的图象和性质：

研究 y=3x, y=(1/3)x 图象

好

x

… …x

-2.5 0.06 15.6

-2 0.1 9

-1 0.3 3

-0.516

0 1 1

0.5 1.7 0.6

1 3 0.3

2 9 0.1

2.5 15.6 0.06

… … …

y 3x

0.614

1 … y 3

1.7

12

10

1x g x = 3

8

6

f x =

x 3

4

2

-10

-5

5

好

1x q x = h x = 3x 36 5 4

1x g x = 2

3

f x = 2x

2

1

-4

-2

2

4

好

能把这四种图像分为两类吗？ 从以下几方面找出这两类图像的共同点 1x 和丌同点？ q

x = h x = 3x 36 5

(1)图像范围？

4

(2)图像经过的特殊点？-4

1x g x = 2

3

f x = 2x

2

1

-2

2

4

(3)图像从左向右的变化趋势？

好

a>1图 象

0<a<1

性

(1)定义域为 (-∞,+ ∞ ),值域为 (0,+ ∞ ) (2)图像都过点 (0,1) ,当x =0时，y= 1

质 (3) 当x>0时, ;x<0时, y>1 0<y<1 (3)当x>0时,0<y<1 ;x<0时, y>1(4)是R上的 增 函数 (4)是R上的 减函数

好

的图象如下图所示，则底数 例1、指数函数y a x , y b x , y c x , y d xa,b,c,d不 1从大到小的顺序是 ？ a, b, c, d

0 b a 1 d cy

y b y b x y ax y x x

yy c c1

x

x

a

yy d

x

d

x

x 0

注: a>1, a越 大,y=ax越靠 近坐标轴; 0<a<1, a 越小, y=ax 越靠近坐标 轴

好

例2 比较下列各题中两数值的大小

① 1.72.5,1.73. ② 0.8-0.1 ,0.8-0.2 ③ 0.8-0.3 ,4.9-0.1解：① 因为指数函数y=1.7x 在R上是 增函数. 2.5<3 所以 1.72.5<1.73②因为指数函数y= 0.8x 在R上是减函数. -0.1>-0.2 ∴0.8-0.1 < 0.8-0.2 ③ ∵0.8-0.3>0.80=1 4.9-0.1<4.90=1

∴0.8-0.3 >4.9-0.1

好

归纳：比较两个同底数幂的大小时, 可以构造一个指数函数,再利用指 数函数的单调性即可比较大小.比 较两个丌同底数幂的大小时,通常 引入第三个数作参照.