第三章

圆

3.3圆周角与圆心角的关系(1)

1.圆心角的定义?

答:顶点在圆心的角叫圆心角.

2.圆心角的度数和它所对的弧的 度数的关系? 答：相等. 2、判断题： (1)相等的圆心角所对的弧相等 (2)等弦对等弧 . (3)等弧对等弦 . (4)长度相等的两条弧是等弧 . (5)平分弦的直径垂直于弦 .

.× × √ × ×

圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?

.AA

.O

.A.O

O

.

.

B BC

C

B

C

在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所 处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.

A

AO

C

●

C

B

B

思考：图中的∠ABC的顶点B 在圆的什么位置？∠ABC的两 边和圆是什么关系？

圆周角定义

圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.特征：B

A

O

.

① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.

C

练习：1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.

不是图1

不是图2

是图3

不是图4

不是图5

AE

C

BA E●

D

当球员在B,D,E处射门 时,他所处的位置对球门 AC分别形成三个张角 ∠ABC, ∠ADC,∠AEC. 这三个角的大小有什么 关系?.

圆周角: ∠ABC=∠ADC=∠AEC.B

O

D

类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？AC●

AC●

AC

O

O

B

●

O

B

B

圆周角和圆心角的关系 1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时. 解:∵∠AOC是△ABO的外角， A ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB, ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.●

C O

即

1 ∠ABC = ∠AOC. 2

B

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时

过点B作直径BD.由1可得:

A

D O

1 1 ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 2 2 1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2B

C

●

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时

过点B作直径BD.由1可得:

1 1 ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 2 2 1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2

A C B●

O

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

圆周角定理综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: ∠ABC = 1∠AOC.2

圆心在角的边上 A C●

圆心在角内 A DO

C B

圆心在角外 A C●

O B

●

O

B

圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.

如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. 证明： ∠ACB=1 ∠AOB 2 1 ∠BAC= ∠BOC 2

O A B C

∠AOB=2∠BOC

∠ACB=2∠BAC

规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出 同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理

练习：1.求圆中角x的度数

D C 120° O x

O

O A

.B

C

.B

AC

B

70° x

A

2.如图，圆心角∠AOB=100°,则∠ACB= 130° . 3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为 圆心，C、D为半圆上的两点， ∠COD=500,则∠CAD=_________ 25º

拓展1.如图(1),在⊙O中,∠BAD =50°,求∠C的大小.∠C=130º A B E●

D

C

O D C (1) A

●

O C

A

●

O

B

B

(2)

(3)

2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?∠B=∠D=∠E

3.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗? ∠C=90º

4、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D,使AD=AB, 如果∠ADB=35º,求∠BOC的度数.解∵AB=AC∴∠ABD=∠ADB=35º ∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=70º ∴∠BOC=2∠BAC=140º

⌒ ⌒ 5、如图，在⊙O中，BC=2DE, ∠ BOC=84°,求 ∠A的度数。解:连接CD

1 ∵∠BOC=84º∴∠BAD= ∠BOC=42º 2 ⌒ ⌒ ⌒∵BC=2DE∴DE为42º的弧

1 ∴∠DCE=42º× =21º 2

∴∠A=∠BDC-∠DCE=42º-21º=21º