新北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明 章节全部知识框架

对《三角形的证明》全部知识进行归纳总结形成网络,帮助学生进行记忆,夯实基础!

对应边相等

性质对应角相等

可利用全等三角形的这一性质 证明线段或角相等。

SSS:三边对应相等的两个三角形全等。 SAS:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 ASA:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 AAS:两角及一组内角的对边对应相等的两个三角形全等。

全等三角形一般三角形全等的判定定理： SSS SAS ASA AAS

判定

两直角三角形全等的判定定理： HL 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

①轴对称图形，顶角平分线(底边上的中线，底边上的高线)是对称轴。 ②两边相等(相等的边称为腰)→等边对等角。

北 师 大 八 年 级 下 第 一 章 三 角 形 的 相 关 证 明直角三角形 等边三角形 等腰三角形

性质

③两角相等(相等的两个角称为底角)→等角对等边。

前提条件：在同一个三角形中，等角对等边，等边 对等角。可用于证明线段或角相等(等腰三角形)

④“三线合一” :等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合。 ⑤等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的高线相等，两腰上的中线相等。 (对称性全等) ①根据定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②根据推论：有两内角相等的三角形是等腰三角形。

判定③“三线合一”的逆定理：三角形中只要高线.中线.角平分线任意有二线重合,这个三角形是等腰三角形. A、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合 B、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合 C、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 (不能直接使用结论证明)

①轴对称图形，内角平分线(各边中线，各边高线)都是对称轴。

性质

②三边都相等，三内角都相等且为 60 度。 ③“三线合一”且三角形三条中线高线角平分线交于一点 O, 这点到三顶点的距离相等(OA=OB=OC) ,到三边的距离相等(OD=OE=OF) 。

判定

①有三边相等的三角形是等边三角形 ②有三内角相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形。 ①两锐角互余(两锐角相加为 90 度) ②勾股定理(a² +b² =c² )直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质

③含有 30 度角的直角三角形中，30 度角所对的直角边等于斜边的一半，60 度角 所对的直角边等于斜边的 3 /2 倍，较长直角边是较短直角边的 3 倍。 ④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(直角三角形三边垂直平分线交于斜 边中点上，从而此点到三顶点的距离相等) ①两锐角互余(两锐角相加为 90 度)的三角形是直角三角形

②有一个内角是 90 度的三角形是直角三角形。

判定③勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。 性质:垂直平分线上的任意点到线段两端点的距离相等。 (等腰三角形中三线合一的线段就是底边上的垂直平分线)

垂直 平分 线

判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 (可用于证明点在直线上或三线共点的问题) 三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线交于一点，且这点到三顶点的距离相等(外心) ①作线段垂直平分线：以端点为圆心，以大于线段一半长为半径画弧，并连结四弧的交点的直线 尺规作图①到两定点的距离相等：连结两定点的线段，并做其中垂线与已知直线的交点。 (图一)

特

殊

线

作图 应用

②到两定点的距离最短：做短距离的点的对称点，并连结对称点与另一点与直线交点。 (图二) ③到三定点的距离相等：做三点所成三角形的两边垂直平分线的交点即可。 (图三)

性质:角平分线上的点到角两边的距离相等。 (角也是轴对称图形，角平分线即是其对称轴)

角平判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

分线三角形三内角平分线的性质：三角形三内角平分线交于一点，并且这个点到三边的距离相等。 (内心)尺规作图：以角的顶点为圆心,以任意长为半径画弧交两边于两点,再以两交点为圆心,以相同长为半径画弧的交点与顶点的连线。