第23届全国中学生物理竞赛决赛试题与详细解答(5)

5 第23届全国中学生物理竞赛决赛参考解答

一、

要使天梯相对于地球静止不动，由地面伸向太空，与地面之间无相互作用力，这样的天梯的下端只能位于赤道上某处，且天梯与该处地球表面垂直，并与地球同步转动．如图1所示．

从坐标原点与地球中心固连、坐标轴指向恒星的惯性参考系来看，天梯和地球一起匀速转动．天梯所受的外力只有地球的万有引力．把天梯看作是由线密度为ρ的许多非常小的小段组成，则每小段到地球中心的距离不同，因而所受地球引力的大小也不同，其中与地心的距离为r i －1到r i 间的长度为△r i 的小段所受地球引力为

f i = G M ρ△r i r 2i

（1） 整个天梯所受的地球引力F 就等于每小段所受地球引力之和，

即

F =

1n i i f =∑=21n i i i

M r G r ρ=∑ （2） 符号1n i =∑表示对所有小段求和．因△r i = r i －r i －1是个小量，注意到r i r i －1=r i ( r i －△r i )≈r 2i

，因此 121111101111()n n

n i i i i i i i i i i i n r r r r rr r r r r -===---==-=-∑∑∑ 用R 0表示地球半径，也就是天梯下端到地心的距离，R l 表示天梯上端到地心的距离，则r 0 = R 0 ，

r n = R l ，代入（2）式得

F =

G Mρ( 1R 0－ 1

R l

) （3） 整个天梯的质量 m = ρ( R l －R 0) （4）

图1