极限的计算 - 华东师范大学

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重要极限与无穷小量

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极限的计算

观察法：严格地说，还要按数学定义(p34,p35, p36,p39)验证---复杂而繁琐,本课程不涉及.理论方法：理论上确定极限存在后作近似计算

1 1 e, n

n

n 10000

1 1 10000

e

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极限计算的核心问题如何判断变量收敛还是发散?

变量收敛还是发散?无极限可言近似计算！极限等于多少？

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从理论上判断极限存在的两个准则

两边夹准则(p52-准则I)单调有界准则(p52-准则II)

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两边夹准则(准则I)

若 x y z,且 lim x lim z=A

则 lim y存在，且 lim y A

A

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两边夹准则的应用

极限为零的变量与有界量相乘的极限是极限为零的变量

0,| | M (常数),则 0 0 | | 0 M| | M| |

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两边夹准则的应用

极限为零的变量与有界量相乘的极限是极限为零的变量例

1 lim x sin 0 x 0 x

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重要极限

sin x lim 1 x 0 x

复习弧度

简证sin x cos x x 1 1 sin x cos x sinx x

sin x cos x 1 x

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复习弧度

圆弧长度与圆心角成正比圆心角大小由圆弧与半径之比决定圆心角大小用圆弧与半径之比表示的方法-弧度弧长=弧度X半径

s x=, s rx r

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应用于求一类极限sin 3x求 lim x 0 xtan 4 x sin(3 x 2 ) 1. lim 2. lim x 0 x 0 tan 2 5 x 5x x sin x 3. lim x 0 1 cos x

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单调有界准则

单调减少有下界的变量必有极限单调增加有上界的变量必有极限

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应用单调有界准则

重要极限

1 lim 1 e n n

n

用观察法相信其极限存在(p55)理论上证明要点：

数列单调增大小于3

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应用于求一类极限

应用

1 求 lim 1 n 2n

n

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重要极限式

1 lim 1 e n n

n

的其他形

lim 1 x ex 0 1 x

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应用举例

1. lim (1 3x)x 0

1 2x

3 4n 2. lim (1 ) n n

1 3x 3. lim x 0 1 2 x

1 2x

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应用举例

1. lim (1 3x)x 0

1 2x 4 1 x

2. lim (1 2 x)x 0

2 x

x 3. lim 1 x 0 5

4. lim{n[ln( n 2) ln n]}n

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利用重要极限时注意

准确记忆重要极限公式应用公式必须在化为重要极限的标准形式以

后

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无穷小量与无穷大量

无穷小量无穷大量与无界量无穷大量与无穷小量

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无穷小量在另一种变化过程中，

极限为零的变量无穷小量与变量、极限过程有关

下列变量不是无穷小量 n 1 n,e n当 x 1时，x, sin x, x 2, tan x, 3 x 1当 n 时，当 x 0时，ln| x|, 3x

3, x 2 3x 2

下列变量在对应的变化过程中是无穷小量： 1 ( 1) n n当 n 时，,,e n n当 x 0时，x, sin x, x 2, tan x, 3 x 1, 0当 x 1时，ln x, 3x 3, x 2 3x 2

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判断下列变量哪些是无穷小量？

当 x 0时， x, sin x, cos x, 3, x3 x 3 2 x

3 5

当 x 1时， ( x-1), lg x, sin x, e, x 1

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无穷小量的运算性质

无穷小量与无穷小量的和、差、积都是无穷小量无穷小量除以无穷小量：结果不定

考察当 x 0时， x除以以下无穷小量的结果 1| x|, x, 100 x, x sin x2