解析几何——轨迹方程的高考题总结

解析几何中的轨迹问题总结

解析几何中求轨迹方程的常见方法

一、直接法

当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 例1 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2 y2 1，动点M到圆C的切

线长与MQ的比等于常数 0 （如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

1解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有

MNMQ

，即

MO ON

MQ

22

，

x2 y2 1(x 2)2 y2

．整理得( 2 1)x2 ( 2 1)y2 4 2x (1 4 2) 0，这就是动点

M的轨迹方程．

若 1，方程化为x

55

，它表示过点(,0)和x轴垂直的一条直线； 44

2 22 221 3 2 3 22

,0)2若λ≠1，方程化为， 它表示以(2（x－2） y 2

2

1 1( 1) 为半径的圆．

二、定义法

定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程. 例2

已知 ABC中， A、 B、 C的对边分别为a、b、c，若a,c,b依次构成等差数列，且a c b，AB 2，求顶点C的轨迹方程.

1

解析几何中的轨迹问题总结

2解：如右图，以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，a,c,b构成等差数列， 2c a b（两定点的距离等于定长—椭圆），即

|CA| |CB| 2|AB| 4，又CB CA， C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，x2y2

1(x 0,x 2). a 2,c 1，b 3，故C的轨迹方程为43

三、点差法

将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。

例3 抛物线y2 4x焦点弦的中点轨迹方程是

四、几何法

几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.

例4 已知点A( 3,2)、B(1, 4)，过A、B作两条互相垂直的直线l1和l2，求l1和l2的交点M的轨迹方程.

2

解析几何中的轨迹问题总结

五、参数法

参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x,y间建

立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x,y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.

例5 过抛物线y2 2px（p 0）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程.

例6 设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且什么图形．

3

OPOQ

tt2 1，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是

解析几何中的轨迹问题总结

六、交轨法

求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.

x2y2

例7 如右图，垂直于x轴的直线交双曲线2 2 1于M、N两点，A1,A2为

ab双曲线的左、右顶点，求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.

例8 已知两点P( 2,2),Q(0,2)以及一条直线 ：y=x，设长为2

的线段AB在直线 上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．

4

解析几何中的轨迹问题总结

七、代入法

当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.

例9 如图，从双曲线C:x2 y2 1上一点Q引直线l:x y 2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.

例10 已知抛物线y

2 x 1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．

5

解析几何中的轨迹问题总结

y12 4x1

3解： 设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，AB中点为M(x,y)，则 2

y2 4x2 y1 y2 2y

y1 y22

y所以y 2(x 1) y1 y2 4 因为 y1 y2

x1 x2

x x x 1 12

4解：由平面几何知识可知，当 ABM为直角三角形时，点M的轨迹是以AB为直径的圆.此圆的圆心即为AB的中点( 1, 1)，半径为

1，方程为AB

22

(x 1)2 (y 1)2 13. 故M的轨迹方程为(x 1)2 (y 1)2 13.

5解：设M(x,y)，直线OA的斜率为k(k 0)，则直线OB的斜率为

x y kx 的方程为y kx，由 2解得

y 2px y

1

.直线OAk

2p

k2，即A(2p,2p)，同理可得

k2k2p

k

B(2pk2, 2pk).

x 由中点坐标公式，得 y

p

pk22k，消去k，得y2 p(x 2p)，此即点M的轨p

pkk

迹方程.

a2 b2 1,

yx

6解：（1）设所求椭圆方程为2 2 1(a＞b＞0).由题意得 a解得

ab t,

b

2

2

2t2a 2. t 1所以椭圆方程为t2(t2 1)x2 (t2 1)y2 t2．

b2 1. t2 1

t2(t2 1)x12 (t2 1)y12 t2,

(2)设点P(x,y),Q(x1,y1),解方程组 得

y1 tx1,

6

解析几何中的轨迹问题总结

1 t x ,x x 12 2(t 1)OPOPx2 2

由和得 tt 1 或 2

tOQOQxt1 y y …… 此处隐藏：1390字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……